Вивчайте арифметичну та геометричну прогресію з розв’язаними та прокоментованими вправами крок за кроком.
Вправа 1
У AP a2 = 5 і a7 = 15. Знайдіть a4 і додайте перші п’ять доданків цього AP.
Правильна відповідь: a4 = 9 і S = 35.
Резолюція
1-й крок: визначити причину і а4.
Щоб залишити a2 і прийти до a7, ми додаємо 5r, оскільки це «відстань» між 7 і 2.
Термін a4 — це доданок a2 плюс 2r, тому що щоб дістатися від a2 до a4, ми «просуваємо» 2r. скоро,
Отже, четвертий член AP дорівнює 9.
2-й крок: визначити суму перших п'яти доданків цього АП.
Сума умов AP визначається так:
a1 = a2 - r (оскільки ми повертаємося на одну позицію в PA, починаючи з a2)
a1 = 5 - 2 = 3
a5 = a7 - 2r (оскільки ми повертаємося на дві позиції в PA, починаючи з a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11
Вправа 2
(Aeronautics 2021) Професор написав 8-членну зростаючу арифметичну прогресію, починаючи з числа 3 і складається лише з натуральних чисел. Потім він помітив, що другий, четвертий і восьмий члени цієї арифметичної прогресії утворили в цьому порядку геометричну прогресію. Професор також зауважив, що сума доданків цієї геометричної прогресії дорівнює
а) 42
б) 36
в) 18
г) 9
Відповідь: а) 42
Відповідно до AP, терміни, які утворюють PG, є a2, a4 і a8:
Сума трьох доданків:
Щоб визначити r, ми використовуємо середнє геометричне:
Квадрат з обох сторін
Зведення першого члена в квадрат і розподіл другого члена:
Підставляючи r в рівняння I, маємо:
Отже, сума перших трьох доданків дорівнює 42.
Вправа 3
(PM-SP 2019) У 2015 році велика нафтова компанія розпочала процес повторного використання води, яка використовується для охолодження деталей, які підготував і зробив прогноз поступового збільшення в арифметичній прогресії до 2050 року обсягу води, яка буде повторно використана, рік за роком рік.
У таблиці наведено обсяги повторно використаної води за перші 3 роки:
Нехай An — загальний член арифметичної прогресії, який вказує на об’єм повторно використаної води в мільйонах м³ з n = 1, що представляє обсяг повторно використаної води в 2016 році, n = 2, що представляє обсяг води, повторно використаної в 2017 році, і так далі послідовно.
За цих умов треба
а) An = 0,5n – 23,5.
б) An = 23,5 + 0,5n.
в) An = 0,5n + 23.
г) An = 23 – 0,5n.
д) An = 0,5n - 23.
Правильна відповідь: в) An = 0,5n + 23.
об'єктивний
Визначити An як функцію n.
Резолюція
Співвідношення арифметичної прогресії дорівнює 0,5, тому що 24 - 23,5 = 0,5.
a1 = 23,5
Загальний термін AP визначається так:
Підставляємо значення:
Вправа 4
(CEDERJ 2021) Послідовність (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) є арифметичною прогресією відношення 6. Четвертий член цієї прогресії
а) 31.
б) 33.
в) 35.
г) 37.
Правильна відповідь: а) 31
Резолюція
Четвертий доданок — a3 + r, наприклад:
Підставляємо знайдені значення:
Вправа 5
(Enem 2021) У Бразилії час, необхідний студенту для завершення навчання до закінчення вищого курсу, враховуючи 9 років початкової школи, 3 роки середньої школи та 4 роки випуску (середній час), це 16 років. Однак реалії бразильців показують, що середній час навчання людей старше 14 років все ще дуже малий, як показано в таблиці.
Врахуйте, що збільшення часу навчання на кожному періоді для цих людей залишається незмінним до року 2050 року, і що передбачається досягти рівня 70% часу, необхідного для отримання вищого курсу. раніше.
Рік, у якому середній час навчання людей старше 14 років досягне бажаного відсотка, буде
а) 2018 рік.
б) 2023 рік.
в) 2031 рік.
г) 2035 рік.
д) 2043.
Правильна відповідь: г) 2035.
1 частина: визначити 70% від 16.
2 частина: визначити, через скільки періодів буде досягнуто 11,2 року навчання.
Часова послідовність дослідження є арифметичною прогресією (AP) з коефіцієнтом 0,6.
r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6
a1 = 5,2
Сума 11,2 року буде досягнута в:
Сума 11,2 буде досягнута в 11-му терміні ПА.
3 частина: визначте, який є 11-м додатком ПА років.
Співвідношення а2 - а1 = 1999 - 1995 = 4 роки
Висновок
70% з 16 років, необхідних для отримання ступеня бакалавра, буде досягнуто в 2035 році.
Вправа 6
(Пожежна служба 2021) Літак і пожежна машина мають резервуари для води ємністю 12 000 і 8 000 літрів води відповідно. Вантажівка має насос 2,5 галона в хвилину, що означає, що він здатний перекачувати 2,5 галона в хвилину.
З цієї гіпотетичної ситуації судіть про наступний пункт, вважаючи, що 1 галон дорівнює 3,8 л води.
Якщо резервуар для води має ємність X тисяч літрів, так що 8, X і 12 знаходяться в геометричній прогресії в такому порядку, то місткість цього резервуара менше 10 тисяч літрів.
Правильно
Неправильно
Правильна відповідь: правильно
об'єктивний
Перевірте, чи X < 10.
Резолюція
У геометричній прогресії, PG, середній член є середнім геометричним між крайніми точками.
Насправді, приблизний квадратний корінь з 96 дорівнює 9,79. Робимо висновок, що ємність Х резервуара менше 10 тис. л.
Вправа 7
(Аеронавтика 2021) Будьте P.G. (24, 36, 54, ...). Додавши 5-й і 6-й терміни цього Г.П. було
а) 81/2
б) 405/2
в) 1215/4
г) 1435/4
Правильна відповідь: в) 1215/4
об'єктивний
Додайте а5 + а6
Резолюція
Крок 1: Визначте співвідношення q.
Причина PG:
Крок 2: Визначте a5
a4 = a3. q
a5 = a4. q
Підставляємо a4 на a5:
Крок 3: Визначте a6
a6 = a5. q
Підставляємо a5 на a6:
Крок 4: Додайте a5 + a6, замінивши числові значення.
Подання 54 в якості доказів:
Вправа 8
(UERJ 2019) Трикутники A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, зображені нижче, мають периметри p1, p2, p3 відповідно. Вершини цих трикутників, починаючи з другого, є серединами сторін попереднього трикутника.
визнати це .
Таким чином, (p1, p2, p3) визначає наступну прогресію:
а) арифметичний відношення = – 8
б) арифметичний відношення = – 6
в) геометричне співвідношення = 1/2
г) геометричне співвідношення = 1/4
Правильна відповідь: в) геометричне співвідношення = 1/2
Резолюція
Крок 1: визначте периметри p1, p2 та p3.
Паралелізмом перевіряємо, що сторони внутрішнього трикутника дорівнюють половині безпосередньо зовнішнього.
Наприклад, B2A2 = A1C2
Таким чином, p2 є половиною p1, так само, як p3 є половиною p2. Ми маємо:
Крок 2: Зберіть прогрес і класифікуйте його.
Виявляється, щоб визначити p2, 18 множимо на 1/2.
Крім того, 9, помножене на 1/2, буде 4,5.
Висновок
Ми перевіряємо, що прогресія є геометричною, із співвідношенням 1/2.
Вправа 9
(Enem 2021) Графік інформує про виробництво, зареєстроване галуззю в січні, березні та квітні.
Через логістичні проблеми огляд виробництва за лютий місяць не проводився. Однак інформація за інші три місяці свідчить про те, що виробництво за цей чотиримісячний період зростало експоненціально, як показує крива тенденції, простежена на графіку.
Якщо припустити, що зростання в цей період було експоненційним, можна зробити висновок, що виробництво цієї галузі в лютому місяці в тисячах одиниць було
а) 0.
б) 120.
в) 240.
г) 300.
д) 400.
Правильна відповідь: в) 240.
Резолюція
Загальним членом PG є експонента a як функція від n, де a1 і q — постійні числа.
a1 = 120
Відношення q можна визначити за допомогою a4 / a3, наприклад:
Лютневою є величина a2, яка виходить шляхом множення a1 на q.
Таким чином, виробництво в лютому місяці становило 240.
Навчайтеся більше з:
- Вправи на геометричну прогресію
- Вправи з арифметичної прогресії
Дивіться також:
- ПА і ПГ: підсумок, формули та вправи
- Геометрична прогресія
- арифметична прогресія
