Вектор — це подання, яке визначає величину, напрямок і напрямок векторної величини. Вектори — це прямі відрізки, орієнтовані стрілкою на одному кінці.
Називаємо вектори літерою і маленькою стрілкою.
Вектори характеризують векторні величини, які є величинами, які потребують орієнтації, тобто напряму та напряму. Деякі приклади: сила, швидкість, прискорення та переміщення. Числового значення недостатньо, необхідно описати, куди діють ці величини.
модуль вектора
Модуль вектора, або інтенсивність, — це його числове значення, за яким слідує одиниця вимірювання величини, яку він представляє, наприклад:
Вказуємо модуль між смугами, зберігаючи стрілку або, просто букву, без смуг і без стрілки.
Довжина вектора пропорційна модулю. Більший вектор представляє більший модуль.
векторний модуль дорівнює 4 одиницям, а вектор
становить 2 одиниці.
Напрямок вектора
Напрямом вектора є нахил опорної лінії, на якій він визначається. Для кожного вектора є тільки один напрямок.
відчуття вектора
Напрямок вектора показано стрілкою. Один і той самий напрямок може містити два напрямки, наприклад вгору або вниз і вліво або вправо.
Прийнявши напрямок позитивним, протилежний напрямок, негативний, представляється зі знаком мінус перед векторним символом.
Отриманий вектор
Отриманий вектор є результатом векторних операцій і еквівалентний набору векторів. Зручно знати вектор, який представляє ефект, створений більш ніж одним вектором.
Наприклад, на тіло може діяти набір сил, і ми хочемо знати, який результат вони дадуть разом на цьому тілі. Кожна сила представлена вектором, але результат може бути представлений лише одним вектором: результуючим вектором.
Отриманий вектор, , горизонтального напрямку і напряму вправо, є результатом додавання і віднімання векторів.
,
,
і
. Отриманий вектор показує тенденцію тіла рухатися в цій орієнтації.
Вектори з вертикальним напрямком мають однаковий розмір, тобто один і той же модуль. Оскільки вони мають протилежне значення, вони скасовують один одного. Це показує, що переміщення обрешітки у вертикальному напрямку не буде.
При аналізі векторів і
, які мають однаковий напрямок і протилежні напрямки, ми розуміємо, що частина сили «залишається» праворуч, оскільки вектор
є більшим за
, тобто модуль
це більше.
Для визначення результуючого вектора виконуємо векторні операції додавання та віднімання.
Додавання і віднімання векторів з однаковим напрямком
З рівні почуття, ми додаємо модулі і зберігаємо напрямок і напрямок.
приклад:
Графічно ми розміщуємо вектори послідовно, не змінюючи їх модулів. Початок одного повинен збігатися з кінцем іншого.
Комутативна властивість додавання справедлива, оскільки порядок не змінює результат.
З протилежні відчуття, віднімаємо модулі і зберігаємо напрямок. Напрямок результуючого вектора є напрямком вектора з найбільшим модулем.
приклад:
вектор є залишковою частиною
, після зняття
.
Віднімання одного вектора еквівалентне додаванню з протилежним вектором.
Додавання і віднімання перпендикулярних векторів
Щоб додати два вектори з перпендикулярними напрямками, ми переміщаємо вектори, не змінюючи їх модуля, так, щоб початок одного збігався з кінцем іншого.
Отриманий вектор зв’язує початок першого з кінцем другого.
Щоб визначити величину результуючого вектора між двома перпендикулярними векторами, ми збігаємо початок двох векторів.
Модуль результуючого вектора визначається теоремою Піфагора.
Додавання і віднімання похилих векторів
Два вектори є похилими, якщо вони утворюють кут між своїми напрямками, відмінним від 0°, 90° і 180°. Для додавання або віднімання похилих векторів використовуються методи паралелограма і багатокутної лінії.
метод паралелограма
Щоб виконати метод або правило паралелограма між двома векторами та намалювати отриманий вектор, ми виконаємо такі дії:
Перший крок полягає в тому, щоб розташувати їх початок в одній точці і провести прямі, паралельні векторам, щоб утворити паралелограм.
Другий — накреслити діагональний вектор на паралелограмі між об’єднанням векторів і об’єднанням паралельних прямих.
Пунктирні лінії паралельні векторам, а утворена геометрична фігура є паралелограмом.
Отриманий вектор є лінією, що сполучає початок векторів з паралелями.
О модуль результуючого вектора виходить за законом косинусів.
де:
R — величина результуючого вектора;
a — векторний модуль ;
b — модуль вектора ;
– кут, утворений між напрямками векторів.
Метод паралелограма використовується для додавання пари векторів. Якщо ви хочете додати більше двох векторів, ви повинні додати їх по два. До вектора, отриманого від суми перших двох, додамо третій і так далі.
Інший спосіб додати більше двох векторів - це використовувати метод багатокутної лінії.
метод багатокутної лінії
Метод багатокутної лінії використовується для пошуку вектора, отриманого в результаті додавання векторів. Цей метод особливо корисний при додаванні більш ніж двох векторів, наприклад наступних векторів ,
,
і
.
Для використання цього методу необхідно впорядкувати вектори так, щоб кінець одного (стрілка) збігався з початком іншого. Важливо зберегти модуль, напрямок і напрямок.
Розташувавши всі вектори у вигляді багатокутної лінії, ми повинні простежити отриманий вектор, який йде від початку першого до кінця останнього.
Важливо, щоб отриманий вектор замикав багатокутник, його стрілка збігалася зі стрілкою в останньому векторі.
Комутативна властивість справедлива, оскільки порядок, у якому ми розміщуємо вектори графіка, не змінює результуючий вектор.
векторне розкладання
Розкласти вектор — це записати компоненти, з яких складається цей вектор. Ці компоненти є іншими векторами.
Кожен вектор можна записати як композицію інших векторів через векторну суму. Іншими словами, ми можемо записати вектор як суму двох векторів, які ми називаємо компонентами.
Використовуючи декартову систему координат, з перпендикулярними осями x і y, визначимо складові вектора.
вектор є результатом суми векторів між компонентами векторів.
і
.
вектор нахил
утворює з віссю х прямокутний трикутник. Таким чином, ми визначаємо модулі компонентних векторів за допомогою тригонометрії.
Компонентний модуль ax.
Компонентний модуль ay.
векторний модуль виходить з теореми Піфагора.
Приклад
Сила виконується шляхом відриву блоку від землі. Сила модуля 50 Н нахилена на 30° від горизонталі. Визначте горизонтальну і вертикальну складові цієї сили.
Дані:
Множення дійсного числа на вектор
Помноживши дійсне число на вектор, в результаті вийде новий вектор, який має такі характеристики:
- Той самий напрямок, якщо дійсне число відмінне від нуля;
- Той самий напрямок, якщо дійсне число додатне, і в протилежному напрямку, якщо воно від’ємне;
- Модуль буде добутком модуля дійсного числа та модуля помноженого вектора.
Добуток між дійсним числом і вектором
де: – вектор, отриманий у результаті множення;
– дійсне число;
– вектор, що множиться.
Приклад
Нехай дійсне число n = 3 і вектор за модулем 2 добуток між ними дорівнює:
Розрахунок модуля
Напрямок і напрямок будуть однаковими.
Вправа 1
(Enem 2011) Сила тертя — це сила, яка залежить від контакту між тілами. Її можна визначити як силу, що протидіє тенденції зміщення тіл, і виникає внаслідок нерівностей між двома поверхнями, що контактують. На малюнку стрілки позначають сили, що діють на тіло, а збільшена крапка позначає нерівності, які існують між двома поверхнями.
На малюнку вектори, що представляють сили, що викликають зміщення та тертя, є відповідно:
в) 
б) 
ç) 
г) 
і) 
Правильна відповідь: буква а) 
Стрілки зображують вектори сил, які діють при русі в горизонтальному напрямку, будучи парою дія-реакція, вони мають протилежні напрямки.
Вертикальні стрілки представляють дії Вагової сили та Нормальної сили, і, оскільки вони рівні, вони компенсують одна одну без руху у вертикальному напрямку.
Вправа 2
(UEFS 2011) Векторна діаграма на малюнку окреслює сили, що діють двома гумовими стрічками на зуб людини, яка проходить ортодонтичне лікування.
Припускаючи F = 10,0N, sen45° = 0,7 і cos45° = 0,7, інтенсивність сили, прикладеної еластичними пружками до зуба, в N, дорівнює
а) 3√10
б) 2√30
в) 2√85
г) 3√35
д) 2√45
Правильна відповідь: в) 2√85
Інтенсивність сили, прикладеної до зуба, визначається за законом косинусів.
a і b дорівнюють 10 Н.
Розкладаючи квадратний корінь на множники, отримуємо:
Отже, інтенсивність результуючої сили, прикладеної гумовими стрічками на зуб, дорівнює .
Вправа 3
(PUC RJ 2016) Сили F1, F2, F3 і F4 на малюнку складають один до одного прямі кути, а їх модулі становлять відповідно 1 Н, 2 Н, 3 Н і 4 Н.
Обчисліть модуль сумарної сили в Н.
а) 0
б) √2
в) 2
г) 2√ 2
д) 10
Правильна відповідь: г) 2√ 2
Ми використовуємо метод багатокутної лінії для визначення результуючого вектора. Для цього ми переставляємо вектори так, щоб кінець одного збігався з початком іншого, ось так:
Використовуючи систему координат з початком початку результуючого вектора, ми можемо визначити модулі його компонентів таким чином:
Таким чином, ми повинні:
Ry = 3 - 1 = 2 Н
Rx = 4 - 2 = 2 Н
Величина результуючого вектора визначається теоремою Піфагора.
Отже, модуль сумарної сили дорівнює .
дізнатися більше про
- Вектори: додавання, віднімання та розкладання.
- Векторні величини
✖
