An поліноміальне рівняння характеризується наявністю a поліном дорівнює нулю. Його можна охарактеризувати ступенем полінома, і чим більше цей ступінь, тим більший ступінь труднощів у знаходженні його розв’язку або кореня.
У цьому контексті також важливо зрозуміти, що таке фундаментальна теорема алгебри, яка це стверджує кожне поліноміальне рівняння має хоча б один комплексний розв’язок, іншими словами: рівняння першого ступеня матиме принаймні один розв’язок, рівняння другого ступеня матиме принаймні два розв’язки і так далі.
Читайте також: Які існують класи поліномів?
Що таке поліноміальне рівняння
Поліноміальне рівняння характеризується тим, що поліном дорівнює нулю, таким чином, кожен вираз типу P(x) = 0 є поліноміальним рівнянням, де P(x) – поліном. Нижче наведено загальний випадок поліноміального рівняння та деякі приклади.
Розглянемонемає, аn -1, а n -2, …, The1, а0 і x реальні числа, а n — ціле додатне число, наступний вираз — це поліноміальне рівняння ступеня n.
- Приклад
Наступні рівняння є поліномами.
а) 3х4 + 4x2 – 1 = 0
б) 5х2 – 3 = 0
в) 6x – 1 = 0
г) 7х3 – х2 + 4x + 3 = 0
Як і поліноми, поліноміальні рівняння мають свій ступінь. Щоб визначити ступінь поліноміального рівняння, просто знайдіть найвищу ступінь, коефіцієнт якої відрізняється від нуля. Отже, рівняння попередніх пунктів, відповідно:
а) Рівняння з четвертий ступінь:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
б) Рівняння з вища школа:5x2 – 3 = 0.
в) Рівняння з перший ступінь:6x – 1 = 0.
г) Рівняння є третій ступінь: 7x3– х2 + 4x + 3 = 0.
Як розв’язати поліноміальне рівняння?
Спосіб розв’язування поліноміального рівняння залежить від його ступеня. Чим більший ступінь рівняння, тим складніше його розв’язати. У цій статті ми покажемо метод розв’язування поліноміальних рівнянь першого ступеня, другого ступеня і біквадрата.
Поліноміальне рівняння першого ступеня
Поліноміальне рівняння першого ступеня описується а поліном 1 ступеня. Отже, рівняння першого ступеня можна записати, загалом, так.
Розглянемо два дійсних числа The і Б при a ≠ 0 наступний вираз є поліноміальним рівнянням першого ступеня:
ax + b = 0
Щоб розв’язати це рівняння, ми повинні використати принцип еквівалентності, тобто все, що керується з одного боку рівності, має також діяти з іншого боку. Щоб визначити розв’язок рівняння першого ступеня, треба ізолювати невідоме. Для цього першим кроком є усунення Б у лівій частині рівності, а потім віднятивесла b по обидві сторони рівності.
сокира + б - Б = 0 - Б
ax = - b
Зауважимо, що значення невідомого х не є ізольованим, коефіцієнт a потрібно виключити з лівої частини рівності, а для цього поділимо обидві частини на The.
- Приклад
Розв’яжіть рівняння 5x + 25 = 0.
Щоб розв’язати задачу, необхідно скористатися принципом еквівалентності. Щоб полегшити процес, ми пропустимо запис операції з лівої частини рівності, оскільки Тоді еквівалентно сказати, що ми збираємося «передати» число в іншу сторону, змінюючи знак (зворотна операція).
Дізнайтеся більше про розв’язання цього типу рівняння, перейшовши до нашого тексту: Рівняння першого ступеня з невідомим.
Поліноміальне рівняння другого ступеня
Поліноміальне рівняння другого ступеня має характеристику a поліном другого ступеня. Отже, розглянемо a, b і c дійсні числа з a ≠ 0. Рівняння другого ступеня задається так:
сокира2 + bx + c = 0
Ваше рішення можна визначити за допомогою методу бхаскара або шляхом факторингу. Якщо ви хочете дізнатися більше про рівняння цього типу, прочитайте: еквдії сдругий grau.
→ Метод Бхаскари
Використовуючи метод Бхаскари, його корені задаються такою формулою:
- Приклад
Знайдіть розв’язок рівняння х2 – 3x + 2 = 0.
Зауважимо, що коефіцієнти рівняння дорівнюють відповідно a = 1, b = – 3 і c = 2. Замінивши ці значення у формулі, ми повинні:
→ Факторизація
Подивіться, що вираз x можна розкласти на множники2 – 3x + 2 = 0, використовуючи ідею поліноміальна розкладка.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Зверніть увагу, що ми маємо добуток, рівний нулю, а добуток дорівнює нулю, лише якщо один із множників дорівнює нулю, тому ми повинні:
х – 2 = 0
х = 2
або
х - 1 = 0
х = 1
Подивіться, що ми знайшли рішення рівняння двома різними методами.
біквадратне рівняння
THE біквадратне рівняння це приватний випадок поліноміального рівняння четвертого ступеня, зазвичай рівняння четвертого ступеня записується у вигляді:
сокира4 + bx3 + коробка2 + dx + e = 0
де цифри а Б В Г і і дійсні з ≠ 0. Рівняння четвертого ступеня вважається біквадратом, коли коефіцієнти b = d = 0, тобто рівняння має вигляд:
сокира4 + коробка2 + і = 0
Подивіться на прикладі нижче, як розв’язати це рівняння.
- Приклад
Розв’яжіть рівняння x4 – 10х2 + 9 = 0.
Щоб розв’язати рівняння, ми будемо використовувати наступну невідому зміну, і щоразу, коли рівняння є біквадратом, ми внесемо цю зміну.
x2 =p
З рівняння біквадрата зверніть увагу, що x4 = (х2)2 і тому ми повинні:
x4 – 10х2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
для2 – 10р + 9 = 0
Подивіться, що тепер у нас є поліноміальне рівняння другого ступеня, і ми можемо використовувати метод Бхаскари, наприклад:
Однак ми повинні пам’ятати, що на початку вправи була внесена невідома зміна, тому ми повинні застосувати значення, знайдене в заміні.
x2 =p
Для p = 9 маємо, що:
x2 = 9
х’ = 3
або
х’’ = – 3
Для p = 1
x2 = 1
х’ = 1
або
х’’ = – 1
Отже, набір розв’язків біквадратного рівняння такий:
S = {3, –3, 1, –1}
Читайте також: Практичний прилад Бріо-Руффіні – поділ поліномів
Фундаментальна теорема алгебри (TFA)
Фундаментальна теорема алгебри (TFA), доведена Гауссом у 1799 році, стверджує, що кожне поліноміальне рівняння має принаймні один комплексний корінь.
Коренем поліноміального рівняння є його розв’язок, тобто невідоме значення робить рівність істинною. Наприклад, рівняння першого ступеня має вже визначений корінь, як і рівняння другого ступеня, яке має принаймні два корені, і біквадрат, який має принаймні чотири корені.
розв’язані вправи
питання 1 – Визначте значення x, яке робить рівність істинною.
2x – 8 = 3x + 7
Резолюція
Зауважимо, що для розв’язання рівняння необхідно його організувати, тобто залишити всі невідомі в лівій частині рівності.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– х = 15
За принципом еквівалентності ми можемо помножити обидві частини рівності на одне й те саме число, а оскільки ми хочемо знайти значення x, ми помножимо обидві частини на –1.
(–1)– х = 15(–1)
х = – 15
питання 2 – У Маркоса на 20 реалів більше, ніж у Жоао. Разом їм вдається купити дві пари кросівок, вартістю 80 реалів кожна пара, і грошей не залишилося. Скільки реалів має Джон?
Резолюція
Припустимо, що у Марка х реалів, оскільки у Джона на 20 реалів більше, отже, у нього х + 20.
Знаки → х дійсних
Жоао → (x + 20) реалів
як вони купили дві пари кросівок які коштують 80 реалів кожен, тож якщо ми поєднаємо частини кожного разом, нам доведеться:
х + (х + 20) = 2 · 80
х + х = 160 – 20
2x = 140
Отже, у Марка було 70 реалів, а у Жоао — 90 реалів.
Робсон Луїс
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm