набір з прості числа є об’єктом дослідження в математика з Стародавньої Греції. Евклід у своїй великій праці «Елементи» вже обговорював цю тему, встигаючи продемонструвати, що це набір є нескінченним. Як відомо, прості числа - це ті, у яких число 1 є дільником і вони самі, таким чином, знайти дуже великі прості числа — завдання не з легких, а через сито Ератосфена це легко. зустріч.
Як дізнатися, коли число є простим?
Ми знаємо, що просте число — це ахто має як роздільник номер 1 і він сам, тож число, яке в списку дільників має числа, відмінні від 1, і саме по собі не буде простим, див.:
Перерахувавши 11 і 30 дільників, ми маємо:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Зверніть увагу, що число 11 має в якості дільників тільки число 1 і себе, тому число 11 є простим числом. Тепер подивіться на дільники числа 30, у нього, крім числа 1 і самого себе, є числа 2, 3, 5, 6 і 10 з дільниками. тому число 30 не є простим.
→ Приклад: Перерахуйте прості числа, менші за 15.
Для цього ми перерахуємо дільники всіх чисел від 2 до 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Таким чином, простими числами, меншими за 15, є:
2, 3, 5, 7, 11 і 13
Погодьтеся, це завдання було б не дуже приємним, наприклад, якби ми записали всі прості числа від 2 до 100. Щоб уникнути цього, ми навчимося використовувати в наступній темі сито Ератосфена.
Сито Ератосфена
Решето Ератосфена — це а інструмент, який має на меті полегшити визначення простих чисел. Сито складається з чотирьох ступенів, і для того, щоб зрозуміти їх, необхідно мати на увазі критерії подільності. Перш ніж почати крок за кроком, ми повинні створити таблицю від числа 2 до потрібного числа, оскільки число 1 не є простим. Тоді:
→ Крок 1: З критерію подільності на 2 маємо, що всі парні числа діляться на нього, тобто число 2 з'явиться в списку дільників, тому ці числа не будуть простими, і ми повинні виключити їх з стіл. Чи вони:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Крок 2: З критерію подільності на 3 ми знаємо, що число ділиться на 3, якщо сума з його цифр це також. Таким чином, ми повинні виключити ці числа з таблиці, оскільки вони не є простими, оскільки в списку дільників є число, відмінне від 1. Отже, ми повинні виключити числа:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Крок 3: З критерію подільності на 5 ми знаємо, що всі числа, що закінчуються на 0 або 5, діляться на 5, тому ми повинні виключити їх з таблиці.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Крок 4: Так само ми повинні виключити з таблиці числа, кратні 7.
14, 21, 28, …, 546, …
– Знаючи решето Ератосфена, визначимо прості числа між 2 і 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ не є двоюрідними братами
→ прості числа
Отже, прості числа від 2 до 100:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Читайте також: Розрахунок MMC і MDC: як це зробити?
Розклад на основний фактор
THE розкладання на основний фактор офіційно відомий як фундаментальна теорема арифметики. Ця теорема стверджує, що будь-який ціле число відмінний від 0 і більший за 1 може бути представлений добутком простих чисел. Щоб визначити розкладену форму цілого числа, ми повинні виконувати послідовні ділення, поки не досягнемо результату, рівного 1. Дивіться приклад:
→ Визначити розкладену форму чисел 8, 20 і 350.
Щоб розкласти число 8, ми повинні розділити його на перше можливе просте число, в даному випадку на 2. Потім виконуємо ще одне ділення також на можливе просте число, цей процес повторюється, поки не досягнемо числа 1 як відповіді на ділення. Подивіться:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Отже, розкладеною формою числа 8 є 2 · 2 · 2 = 23. Щоб полегшити цей процес, ми скористаємося наступним методом:
Отже, число 8 можна записати так: 23.
→ Щоб розкласти число 20, ми використаємо той самий метод, тобто розділимо його на прості числа.
Отже, число 20 у його розкладеній формі: 2 · 2 · 5 або 22 · 5.
→ Аналогічно будемо робити з числом 350.
Отже, число 350 у його розкладеному вигляді: 2 · 5 · 5 · 7 або 2 · 52 · 7.
Дивіться також: Наукова нотація: для чого вона?
розв’язані вправи
питання 1 – Спростіть вираз:
Рішення
Спочатку розкладемо вираз на фактори, щоб було легше.
Отже, 1024 = 210, і тому ми можемо замінити одне іншим у виразі вправи. Таким чином:
Робсон Луїс
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm
