Уявіть, що граєте з кульками, щоб утворити трикутники. Спочатку можна вважати, що кулька схожа на маленький трикутник:
•
Потім ви розміщуєте два кульки під ними і формуєте три вершини a трикутник:
•
• •
Якщо ви помістіть ще три кулі нижче цих, це утворить інший трикутник:
•
• •
• • •
На кожному кроці додавання куль по відношенню до попередньо розміщеної кількості завжди буде утворення трикутників. Подивіться на трикутник, який утворився шляхом додавання ще чотирьох куль:
•
• •
• • •
• • • •
Загальна кількість кульок на кожному кроці характеризує клас чисел, який називається трикутні числа. Математик Карл Фрідріх Гаусс відкрив формулу, яка вказує загальну суму в кожному трикутнику, де с1відповідав першому трикутнику, с2, до другого трикутника і так далі. Суми, описані Гауссом, почали з а і, на кожному етапі додавалося число, яке відповідало одній одиниці вище останнього доданого числа:
с1 = 1
с2= 1 + 2 = 3
с3 = 1 + 2 + 3 = 6
с4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
с5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Результатами цих сум стали трикутні числа: 1, 3, 6, 10, 15... Зауважте, що в кожній із цих сум існує закономірність. Уважно придивившись, ми бачимо, що кожен з них є а
арифметична прогресія з причини 1. Отже, ось сума Гауса, який встановлює, що в постійній сумі відношень, якщо додати перший елемент до останнього, ми отримаємо той самий результат, що й другий елемент до передостаннього. Давайте подивимося, як відбувається процес суми Гаусса для сум. с6 і с7:
Процес суми Гаусса, що застосовується до суми трикутних чисел
Не зупиняйся зараз... Після реклами ще більше ;)
якщо зупинитись с6 і с7 ми маємо суми з зображення вище, давайте відтворимо цю суму для с8, С9, С10 і с11:
с8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
с9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
с10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
с11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Ми можемо узагальнити, щоб отримати суму снемає:
снемає = п. (n+1), якщо n парне
2
снемає = (п - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, якщо n непарне
2 2
як у магія чисел, ми можемо показати ще один цікавий факт про трикутні числа: суму наступних трикутних чисел завжди призводить до чисел, які можна класифікувати як повні квадрати, тобто числа, які мають корінь площа. Давайте подивимося:
с1 + С2 = 1 + 3 = 4
с2 + С3 = 3 + 6 = 9
с3 + С4 = 6 + 10 = 16
с4 + С5 = 10 + 15 = 25
с5 + С6 = 15 + 21 = 36
с6 + С7 = 21 + 28 = 49
с7 + С8 = 28 + 36 = 64
с8 + С9 = 36 + 45 = 81
с9 + С10 = 45 + 55 = 100
с10 + С11 = 55 + 66 = 121
Отримані результати 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 і 121 є повними квадратами.
Автор Аманда Гонсалвес
Закінчив математику
Чи хотіли б ви посилатися на цей текст у шкільній чи академічній роботі? Подивіться:
РІБІРО, Аманда Гонсалвес. «Трикутні числа»; Бразильська школа. Доступний у: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Доступ 27 липня 2021 року.
