Ми знаємо, що орбіти планет еліптичні, однак для виведення третього закону Кеплера, розглянемо кругову орбіту. Хоча наступна демонстрація заснована на кругових орбітах, результати також дійсні для еліптичних орбіт.
На малюнку ми маємо планету, що обертається навколо Сонця. Доцентрова сила (Fc) — гравітаційна сила тяжіння, яку діє Сонце. Силами тяжіння, що діють між планетами і супутниками, нехтують, це пов'язано з тим, що їх маси набагато менші за масу Сонця.
Як планета маси (м) обертається навколо Сонця, рухаючись по колу та з кутовою швидкістю ( ), результуюча сила на планеті, яка називається доцентровою силою (Fc), визначається як:
Фç=mω2 р
На що:
Фç: доцентрова сила;
m: маса планети;
ω: кутова швидкість планети;
r: радіус орбіти планети.
Кутова швидкість визначається як:
На що:
Т: період революції на планеті.
Підставляючи рівняння 2 в рівняння 1, маємо:
Зверніть увагу, що доцентрова сила — це сила тяжіння між Сонцем і планетою. Таким чином, розглядаючи масу Сонця як (M), а радіус орбіти планети як (r), яка є відстанню між Сонцем і планетою, закон всесвітнього тяжіння можна записати так:
На що:
Прирівнявши рівняння 3 до 4, ми отримаємо:
Незабаром:
Подивіться на рівняння 5 і зверніть увагу, що термін 
є постійною, оскільки невідомі відносяться до універсальної постійної та маси Сонця, тому рівняння можна переписати так:
Т2=kr3
На що:
k: константа пропорційності.
Рівняння 6 говорить нам, що квадрат періоду обертання планети навколо Сонця прямо пропорційний кубу відстані між ними.
З наведеного вище рівняння можна зробити висновок, що чим далі планета від Сонця, тим довший період її обертання.
Третій закон Кеплера, який ми щойно вивели, також справедливий по відношенню до Землі для руху Місяця і штучних супутників.
Натан Аугусто
Закінчив фізику
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm