Перевірте свої знання за допомогою 13 розв’язаних вправ на циліндрах. Підготуйтеся до ENEM та вступних іспитів з обговореними питаннями та задайте свої запитання.
Вправа 1
Обчисліть об’єм циліндра і позначте альтернативу, яка найбільш відповідає результату. Дано: Розглянемо π = 3,14.
а) Об'єм = 6000 см³.
б) Об'єм = 5000 см³.
в) Об'єм = 4000 см³.
г) Об'єм = 3000 см³.
д) Об’єм = 2000 см³.
Відповідь: б) Об’єм = 5000 см³.
Дозвіл
Щоб визначити об’єм циліндра, помножимо площу основи на висоту.
З зображення маємо діаметр = 16 см і висоту = 25 см.
Дані:
π = 3,14
Радіус основи: r = d / 2 = 16/2 = 8 см
Висота: h = 25 см
Оскільки основа - це коло, її площа отримується за рівнянням:
A = π.r²
A = π. 8²
А = 3,14. 64
A = 200,96 см²
Об'єм циліндра дається множенням між площею основи та її висотою.
V = π.r².h
V = 200,96 x 25 = 5024 см³
Отже, обсяг становить близько 5000 см³. Це найкраще наближення.
Вправа 2
У реактивній машині Total Cleaning сьогодні відбувся великий рух, прийнявши 23 клієнтів для повного миття. Однак, коли я почав мити наступну машину, вода закінчилася. Тільки тоді співробітники зрозуміли, що постачальник води видав попередження про те, що через ремонтні роботи та технічне обслуговування цього дня постачання не буде.
Власник закладу попросив аварійне постачання водою вантажівки, а водопостачальна компанія запитала про потужність водойми. Оскільки він був дуже старим, вказівки про ємність зникли, що було необхідно для розрахунку на основі його вимірювань.
Резервуар являє собою циліндр висотою 4 м і діаметром 1,80 м.
Компанія-постачальник води має п'ять варіантів доставки вантажних автомобілів. Позначте варіант, який може вимагати власник лавового акту, наповнивши ваш резервуар якомога більше.
Дані: 1 м³ = 1000 л
а) 12000 л.
б) 11000 л.
в) 10 000 л.
г) 9000 л.
д) 8000 л.
Правильна відповідь: в) 10 000 л.
Дозвіл
Ми повинні розрахувати об’єм в кубічних метрах, а потім перетворити його в літри.
Об’єм циліндра можна розрахувати, помноживши площу основи на висоту.
Ідея 1: Обчисліть базову площу.
Площа основи: A = π.r²
Оскільки діаметр дорівнює 1,80 м, радіус дорівнює 0,90 м.
A = 3,14 * 0,90²
А = 3,14 * 0,81
В = 2,55434 см²
Ідея 2: розрахувати обсяг циліндр
V = площа основи * висота
V = π.r².h
V = 2,5434 x 4 = 10,1736 м³
ЯІдея 3: перетворіть результат з м³ в літри.
Оскільки 1 м³ = 1000 л, просто помножте результат на 1000.
V = 10,1736 м³ x 1000 = 10 173,6 л
Таким чином, власник мийки зможе замовити вантажівку на 10 000 л.
Вправа 3
Яка бічна площа прямолінійного циліндра, який має об’єм 502,4 см³ і діаметр 8 см?
Дано: π = 3,14.
а) 355,10 см²
б) 251,20 см²
в) 125,51 см²
г) 375,30 см²
д) 91,45 см²
Правильна відповідь: 251,20 см²
Дозвіл
Ідея 1: Визначте висоту h та радіус r
Якщо діаметр 8 см, то радіус дорівнює 4 см.
За формулою обсягу ми можемо визначити висоту.
Ідея 2: формула бічної площі
Бічна площа прямолінійного циліндра висотою h дорівнює площі прямокутника довжиною, рівною довжині окружності циліндра, помноженої на висоту.
Довжину кола отримуємо за формулою: 2.π.r
Площу прямокутника можна отримати, помноживши значення основи та висоти.
Ідея 3: виконати розрахунок бічної площі
Площа сторони циліндра = 2.π.r.h
Площа сторони = 2. 3,14. 4. 10
Площа сторони = 251,20 см²
Отже, поперечна площа циліндра становить 251,20 см².
Вправа 4
Силос, в якому зберігається соя на фермі, мав проблеми у своїй структурі і потребує ремонту припоєм на стіні. Силос - це башта у вигляді циліндра висотою 10 м і діаметром 6 м. Для здійснення послуги менеджер вирішив спорожнити силос, тимчасово зберігаючи виробництво у відрах візків у формі бруківки, розміри яких дорівнюють 12 м в довжину, 2 м в ширину і 1,5 м в висота. Скільки відер потрібно для зберігання всього вмісту?
Використовуйте π = 3,14.
а) 15 відер
б) 7 відер
в) 16 відер
г) 9 відер
д) 8 відер
Правильна відповідь: д) 8 відер
Дозвіл
Ідея 1: кількість відер
Кількість ковшів - це об’єм силосу, поділений на об’єм вантажівки.
Ідея 2: об’єм силосу
Оскільки силос є циліндром, його об’єм отримується продуктом між площею основи та висотою.
площа бази
Де r - радіус, рівний половині діаметра.
A = π.r²
А = 3,14. 3²
A = 28,26 м²
Об'єм силосу
V = A. H
V = π.r².h
V = 28,26. 10
V = 282,60 м³
Ідея 3: об’єм ковша
Об’єм відра - це об’єм паралелепіпеда.
V = довжина х ширина х висота
V = 12 x 2 x 1,5 = 36 м³
Ідея 4: розрахунок кількості відер
Кількість відер = об'єм силосу / об'єм ковша
Кількість відер = 282,60 / 36
Кількість відер = 7,85
Висновок
Для зберігання зерна знадобиться 8 відер.
Вправа 5
(Enem 2010). Дона Марія, підробітка в домі родини Тейшейра, повинна зварити каву для обслуговування двадцяти людей, які зустрічаються на зустрічі у вітальні. Для приготування кави Дона Марія має циліндричний глечик для молока та невеликі пластикові стаканчики, також циліндричні.
Щоб не витрачати каву, покоївка щодня хоче покласти мінімальну кількість води в глечик з молоком, щоб наповнити двадцять чашок наполовину. Щоб це сталося, доня Марія повинна
а) наповнити глечик для молока наполовину, оскільки об’єм у 20 разів перевищує об’єм чашки.
б) наповнити весь глечик з молоком водою, оскільки об’єм у 20 разів перевищує об’єм чашки.
в) наповнити водою весь глечик з молоком, оскільки об’єм у 10 разів перевищує об’єм чашки.
г) наповнити водою дві пляшки з молоком, оскільки об’єм у 10 разів перевищує об’єм склянки.
д) наповнити водою п’ять пляшок з молоком, оскільки об’єм у 10 разів перевищує об’єм склянки.
Правильна відповідь: а) наповнити глечик з молоком наполовину, оскільки об’єм у 20 разів перевищує об’єм чашки.
Дозвіл
Ідея 1: об’єм чашки
Оскільки це циліндр, обсяг задається:
V = π.r².h
V = π.2².4 = 16π см²
Ідея 2: обсяг молочних продуктів
V = π.r².H
V = π.4².20
V = π. 16. 20 см³ або 16π х 20 см³
Тут ми помічаємо, що об’єм молочної продукції в 20 разів перевищує об’єм 1 склянки.
Об’єм молока = 20 склянок
Висновок:
Оскільки кожна чашка буде наповнена наполовину, глечик для молока повинен бути наповнений наполовину.
Вправа 6
(Enem 2014) Компанія, яка організовує випускні заходи, виготовляє соломку з дипломів із квадратних аркушів паперу. Щоб усі соломки були однаковими, кожен лист обмотують навколо дерев’яного циліндра діаметром d у сантиметрах, без будь-якого зазору, роблячи 5 повних обертів навколо цього циліндра. В кінці в середині диплома зав'язується струна, добре відрегульована, щоб вона не розмотувалась, як показано на малюнку.
Потім вийміть дерев’яний циліндр із середини рулонного паперу, закінчуючи підготовку диплома. Зверніть увагу, що товщина оригінального аркуша паперу незначна.
Яка міра в сантиметрах на боці аркуша паперу, який використовується для виготовлення диплома?
а) πd
б) 2-й
в) 4 πd
г) 5 πd
д) 10 πd
Правильна відповідь: г) 5 πd
Дозвіл
Оскільки папір згорнуто 5 разів, довжина аркуша дорівнює 5-кратному довжині окружності циліндра.
Довжина кола задається за формулою:
2. π. р
Радіус становить половину діаметра
r = d / 2
Підставляючи у формулу
Довжина аркуша = 5. 2. π. г / 2
Довжина аркуша = 5πd
Вправа 7
(Enem 2015) Плювіометричний індекс використовується для вимірювання опадів дощової води в міліметрах протягом певного періоду часу. Його розрахунок проводиться відповідно до рівня дощової води, що накопичується в 1 м², тобто, якщо показник дорівнює 10 мм, означає, що висота рівня води, накопиченого у відкритому кубоподібному резервуарі з 1 м² базової площі, становить 10 мм. В одному регіоні після сильної шторму було встановлено, що кількість дощу, накопиченого в циліндричній бідоні радіусом 300 мм і висотою 1200 мм, становить третину її потужності.
Використовуйте 3.0 як наближення для π.
Плювіометричний індекс регіону під час шторму в міліметрах становить
а) 10.8.
б) 12,0.
в) 32.4.
г) 108,0.
д) 324,0.
Правильна відповідь: г) 108,0.
Ідея 1: об’єм рідини в балонці
Використання:
π = 3,0
r = 300 мм
h = 1200 мм
Ідея 2: скидання цього вмісту в куб
Куб повинен мати 1 м³, тобто,
обсяг куба = висота х ширина х довжина
1 м³ = висота х 1 м х 1 м
Змінюючись до міліметрів і дорівнюючи розрахованому об'єму рідини:
108 000 000 мм³ = висота х 1000 м х 1000 м
висота = 108 мм
Висновок:
Таким чином, виміряний індекс опадів становив 108 мм.
Вправа 8
(Енем 2015). Бразильський завод з експорту риби продає консервований тунець за кордоном у двох типах банок циліндричний: один висотою 4 см і радіусом 6 см, а інший невідомої висоти та радіуса 3 см відповідно, як показано на малюнку. Відомо, що міра об’єму банки, що має найбільший радіус, V1, в 1,6 рази перевищує міру об’єму банки, що має найменший радіус, V2.
Невідоме вимірювання висоти
а) 8 см.
б) 10 см.
в) 16 см.
г) 20 см.
д) 40 см.
Правильна відповідь: б) 10 см.
Дозвіл
V1 = 1,6 V2
Заміна формул обсягу циліндрів у V1 та V2:
Оскільки π з’являється з обох сторін множенням, його можна скасувати. Виділяючи х, маємо:
Отже, висота х найвищої банки становить 10 см.
Вправа 9
(Енем 2021) Магазин будівельного обладнання продає два типи резервуарів для води: тип А і тип В. Обидва вони мають циліндричну форму і мають однаковий об’єм, а висота резервуару для води типу В дорівнює 25% від висоти резервуару для води типу А.
Якщо R позначає радіус резервуара для води типу A, то радіус резервуара для води типу B дорівнює
а) R / 2
б) 2 Р
в) 4 Р
г) 5 Р
д) 16 Р
Правильна відповідь: б) 2 Р
Дозвіл
У заяві йдеться, що висота В становить 25% від висоти А. Тобто А в чотири рази перевищує B.
Де a, висота коробки A та, b, висота коробки B:
a = 4b
Де R - радіус коробки типу A, а r - міра радіуса коробки B.
Як рівні обсяги:
VA = VB
Підставляючи формули для обсягу циліндрів, який дорівнює π.r².h, маємо:
Виключаючи рівні члени, які множаться по обидві сторони рівняння:
Застосування квадратного кореня до обох сторін рівняння. ("відкидання експоненти 2 з r ліворуч у вигляді квадратного кореня")
Це означає, що радіус резервуара для води типу В вдвічі перевищує довжину радіуса резервуара для води А.
Вправа 10
(Fuvest). Резервуар для води кубічної форми розміром 1 метр збоку з'єднаний з циліндричною трубою діаметром 4 см і довжиною 50 м. В один момент коробка повна води, а труба порожня.
Капайте воду через трубу, поки вона не заповниться. Яка приблизна висота води в коробці на момент наповнення труби?
а) 90 см.
б) 92 см.
в) 94 см.
г) 96 см.
д) 98 см.
Правильна відповідь: в) 94 см
Дозвіл
Ідея 1: об’єм труби
Будучи циліндром, обсяг задається добутком між площею його основи та його висотою.
Обсяг = π.r².h
У цьому випадку його висота буде становити довжину 50 м, а площа підстави дорівнює перетину труби.
Радіус дорівнює половині діаметра, а в метрах r = 0,02 м.
Об'єм труби = π 0,02². 50 = 0,02π
Ідея 2: обсяг коробки
Будучи кубом, висота = ширина = довжина
У заяві сказано, що міра сторін куба дорівнює 1 м.
Об'єм коробки = 1 м³
Висота х ширина х довжина = 1 х 1 х 1 = 1 м³
Ідея 3: Нова висота
Оскільки кількість води в трубі вийшло з коробки, зробимо віднімання:
Новий об’єм води в коробці = Об’єм коробки - Об’єм труби
Коли вода залишає коробку, єдиним розміром, який може змінюватися, є висота. Ширина і довжина залишаються рівними 1 м.
Висота x 1 x 1 = 1 - 0,02π
Внесення π = 3
Висота = 1 - 0,06
Висота = 0,94
Висновок
Нова висота (рівень води в коробці) становить 0,94 м.
Примітка: Навіть враховуючи π = 3,1415, найближчим результатом все-таки є буква c. Подивіться:
Висота = 1 - 0,02 х 3,1415
Висота = 1 - 0,06283
Висота = 0,93717 (приблизно 0,94)
Вправа 11
(Чесгранріо) Ємність у формі прямолінійного циліндра, діаметр основи якого становить 40 см, а висота 100 / π см, вміщує певну рідину, яка займає 40% його ємності. Об'єм рідини, що міститься в цій ємності, приблизно в літрах дорівнює:
а) 16
б) 18
в) 20
г) 30
д) 40
Правильна відповідь: а) 16
Дозвіл
Ідея 1: об’єм циліндра
V = π.r².h
Заміна значень
Ідея 2: об’єм рідини
40% з 40000
Ідея 3: Перетворення з см³ на літри
Для води 1000 см³ = 1 літр
Отже, 16 000 см³ = 16 л
Висновок
Отже, 40% обсягу балона еквівалентно 16 літрам.
Вправа 12
(FGV-SP) Прямий круговий циліндр висотою, рівним діаметру основи, вписаний у прямий круговий конус. Конус має діаметр 10, висоту 12, а його вісь обертання збігається з віссю циліндра.
Діаметр основи циліндра дорівнює
а) 16/3
б) 11/60
в) 6.
г) 4/25.
д) 7.
Правильна відповідь: б) 60/11
Дозвіл
Ідея 1: ілюстрування та ідентифікація подібних трикутників
Роблячи південну ділянку або дивлячись на вид збоку:
Беручи половину цифри, маємо:
Більший трикутник, утворений напівконусом, схожий на менший зелений, оскільки їх кути рівні. (справа A, A, A).
Ідея 2: використання пропорцій
З лівого боку ділимо висоту конуса на половину його основи, в даному випадку - 5.
На правій стороні ми ділимо висоту зеленого трикутника, який дорівнює D, на його основу, яка дорівнює 5, мінус половина діаметра циліндра, який дорівнює D / 2.
Регулювання з правого боку, маємо:
Тепер ми можемо множити хрест
5. 2D = 12. (20 - Г)
10D = 120 - 12D
22D = 120
D = 120/22
D = 60/11
Висновок
Таким чином, діаметр основи циліндра дорівнює 60/11.
Вправа 13
(PUC-PR). Вводять препарат, який розширює судини та артерії в організмі людини і збільшує діаметр даної артерії на 20%.
Оскільки артерія нагадує прямий круговий циліндр, потік крові в цій артерії збільшується на
а) 10%
б) 20%
в) 21%
г) 40%
д) 44%
Правильна відповідь: д) 44%
Дозвіл
Потік - це кількість маси, яка проходить через область. У цьому випадку кількість крові, яка проходить через ділянку артерії.
Ідея 1: Площа ділянки артерії перед введенням препарату
Оскільки радіус дорівнює половині діаметра, ми можемо записати:
Ідея 2: Площа після прийому препарату
Щоб збільшити на 20%, множимо D на 1,2.
Ідея 3: порівняння до та після областей
Для цього ми розділимо площу 2 на 1
Виключення подібних термінів
Висновок
Таким чином, D2 помножили на 1,44, тобто збільшення на 44%.
дізнатися більше про циліндри.
Вас можуть зацікавити:
об'єм циліндра
Площа циліндра
Просторова геометрія
