Експоненціальна функція: 5 коментованих вправ

THE експоненціальна функція - кожна функція ℝ у ℝ^*_+, визначається f (x) = a^х, де a - дійсне число, більше нуля і не рівне 1.

Скористайтеся вправленими коментарями, щоб очистити всі сумніви щодо цього змісту та обов’язково перевірте свої знання у вирішених питаннях конкурсів.

Коментовані вправи

Вправа 1

Група біологів вивчає розвиток певної колонії бактерій і встановили, що в ідеальних умовах кількість бактерій можна знайти за виразом N (t) = 2000. 2^{0,5 т}, будучи t в годинах.

Враховуючи ці умови, через скільки часу після початку спостереження кількість бактерій дорівнюватиме 8192000?

Рішення

У запропонованій ситуації ми знаємо кількість бактерій, тобто знаємо, що N (t) = 8192000, і хочемо знайти значення t. Отже, просто замініть це значення у даному виразі:

Щоб розв’язати це рівняння, запишемо число 4096 у прості множники, тому що якщо у нас однакова основа, ми можемо зрівняти показники ступеня. Отже, розраховуючи число, маємо:

Таким чином, культура матиме 8 192 000 бактерій через 1 добу (24 год) від початку спостереження.

Вправа 2

Радіоактивні матеріали з часом мають природну тенденцію до дезінтеграції своєї радіоактивної маси. Час, на який потрібно, щоб половина його радіоактивної маси розпалася, називається періодом напіввиведення.

Кількість радіоактивного матеріалу даного елемента визначається як:

Бути,

N (t): кількість радіоактивного матеріалу (у грамах) за певний час.
N₀: початкова кількість матеріалу (у грамах)
T: час напіввиведення (у роках)
t: час (у роках)

Враховуючи, що період напіввиведення цього елемента дорівнює 28 рокам, визначте час, необхідний для зменшення радіоактивного матеріалу до 25% від його початкової кількості.

Рішення

Для запропонованої ситуації A (t) = 0,25 A₀ = 1/4 А₀, тож ми можемо написати наведений вираз, замінивши Т на 28 років, тоді:

Отже, потрібно 56 років, щоб кількість радіоактивних речовин зменшилась на 25%.

Конкурсні запитання

1) Unesp - 2018

Ібупрофен - це призначений препарат від болю та лихоманки, період напіввиведення становить приблизно 2 години. Це означає, що, наприклад, після 2 годин прийому 200 мг ібупрофену в крові пацієнта залишиться лише 100 мг ліків. Ще через 2 години (загалом 4 години) у крові залишиться лише 50 мг тощо. Якщо пацієнт отримує 800 мг ібупрофену кожні 6 годин, кількість цього препарату, яка залишатиметься в крові протягом 14-ї години після прийому першої дози, буде

а) 12,50 мг
б) 456,25 мг
в) 114,28 мг
г) 6,25 мг
д) 537,50 мг

Див. Відповідь

Оскільки початкова кількість ліків у крові кожні 2 години ділиться навпіл, ми можемо представити цю ситуацію за такою схемою:

Зверніть увагу, що показник ступеня в кожній ситуації дорівнює часу, поділеному на 2. Таким чином, ми можемо визначити кількість ліків у крові як функцію часу, використовуючи такий вираз:

Буття

Q (t): кількість за дану годину
Питання₀: початкова кількість споживаного
t: час у годинах

Враховуючи, що 800 мг ібупрофену приймали кожні 6 годин, то маємо:

Щоб знайти кількість ліків у крові через 14 годин після прийому 1-ї дози, ми повинні додати кількості, що відносяться до 1-ї, 2-ї та 3-ї доз. Обчислюючи ці величини, маємо:

Кількість 1-ї дози буде знайдено з урахуванням часу, що дорівнює 14 год, тому маємо:

Для другої дози, як показано на схемі вище, час становив 8 годин. Замінюючи це значення, маємо:

Час для третьої дози становитиме лише 2 години. Тоді кількість, що стосується 3-ї дози, становитиме:

Тепер, коли ми знаємо кількість кожної введеної дози, ми можемо знайти загальну кількість, додавши кожну з виявлених доз:

Питання_усього= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 мг

Альтернатива b) 456,25 мг

2) UERJ - 2013

Озеро, яке використовувалось для забезпечення міста, було забруднене після промислової аварії, досягнувши рівня токсичності Т₀, що відповідає десятикратному початковому рівню.
Прочитайте інформацію нижче.

• Природний потік озера дозволяє оновлювати 50% його обсягу кожні десять днів.
• Рівень токсичності T (x), через x днів аварії, можна розрахувати, використовуючи таке рівняння:

Вважайте D найменшою кількістю днів призупинення подачі води, необхідних для відновлення токсичності до початкового рівня.
Якщо log 2 = 0,3, значення D дорівнює:

а) 30
б) 32
в) 34
г) 36

Див. Відповідь

Для повернення до початкового рівня токсичності необхідно:

Підставляючи це значення у задану функцію, маємо:

Помножившись на "хрест", рівняння стає:

2 ^0,1x= 10

Давайте застосуємо логарифм основи 10 до обох сторін, щоб перетворити його на рівняння 1-го ступеня:

журнал (2^0,1x) = журнал 10

Пам'ятаючи, що журнал 10 в основі 10 дорівнює 1, наше рівняння буде виглядати так:

0,1x. журнал 2 = 1

Враховуючи, що log 2 = 0,3 і підставляючи це значення у рівняння:

Таким чином, найменша кількість днів, приблизно, коли призупинення постачання становить 34 дні.

Альтернатива в) 34

3) Fuvesp - 2018 рік

Нехай f: ℝ → ℝ та g: ℝ₊ → ℝ визначається

відповідно.

Графік складеної функції g_ºвіра:

Див. Відповідь

Графік, який ви шукаєте, - це складена функція g_ºf, отже, першим кроком є ​​визначення цієї функції. Для цього ми повинні замінити функцію f (x) на x функції g (x). Зробивши цю заміну, ми знайдемо:

Використовуючи властивість логарифму частки та степеня, маємо:

Зверніть увагу, що функція, знайдена вище, має тип ax + b, що є афінною функцією. Отже, ваш графік буде прямолінійним.

Також нахил a дорівнює log₁₀ 5, що є додатним числом, тому графік буде збільшуватися. Таким чином, ми можемо усунути варіанти b, c та e.

Нам залишаються варіанти a і d, однак, коли x = 0, ми маємо gof = - log₁₀ 2, що є від’ємним значенням, як показано на графіку а.

Альтернатива а)

4) Unicamp - 2014

На графіку нижче показано криву біотичного потенціалу q (t) для популяції мікроорганізмів з часом t.

Оскільки a і b є реальними константами, функцією, яка може представляти цей потенціал, є

а) q (t) = при + b
б) q (t) = ab^т
в) q (t) = при² + bt
г) q (t) = a + журнал _B т

Див. Відповідь

З наведеного графіку ми можемо визначити, що коли t = 0, функція дорівнює 1000. Крім того, також можна помітити, що функція не є афінною, оскільки графік не є прямою лінією.

Якби функція була типу q (t) = at²+ bt, коли t = 0, результат буде дорівнює нулю, а не 1000. Тож це теж не квадратична функція.

Як увійти в систему_B0 не визначено, а також не може мати у відповідь функцію q (t) = a + log_Bт.

Таким чином, єдиним варіантом буде функція q (t) = ab^т. Враховуючи t = 0, функція буде q (t) = a, оскільки a є постійним значенням, досить, щоб воно дорівнювало 1000, щоб функція відповідала даному графіку.

Альтернатива b) q (t) = ab^т

5) Enem (PPL) - 2015 рік

Профспілка робітників компанії пропонує, щоб мінімальний рівень заробітної плати в класі становив 1800,00 рублів, пропонуючи фіксоване збільшення відсотків за кожен рік, присвячений роботі. Вираз, який відповідає пропозиціям (ам) щодо заробітної плати, як функція стажу (t), у роках, дорівнює s (t) = 1800. (1,03)^т .

Згідно з пропозицією профспілки, зарплата професіонала цієї компанії з 2-річним стажем роботи становитиме,

а) 7 416,00
б) 3819,24
в) 3 709,62
г) 3 708,00
д) 1 909,62.

Див. Відповідь

Вираз для обчислення заробітної плати як функції часу, запропонований профспілкою, відповідає експоненціальній функції.

Щоб знайти значення зарплати у зазначеній ситуації, давайте обчислимо значення s, коли t = 2, як зазначено нижче:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Альтернатива д) 1 909,62

Читайте теж:

• Експоненціальна функція
• Логарифм
• Логарифм - Вправи
• Властивості логарифму
• Потенціювання
• вправи на потенціювання
• Аффінна функція
• Лінійна функція
• Пов’язані вправи на функції
• Квадратична функція
• Квадратична функція - вправи
• Математичні формули