Прості та складні відсотки - це розрахунки, що проводяться з метою виправлення сум, залучених до операцій фінансова, тобто виправлення, здійснене під час позики або інвестування певної суми протягом періоду час.
Виплачена або викуплена сума буде залежати від комісії, яка стягується за операцію, та періоду, коли гроші будуть позичені або інвестовані. Чим вище швидкість і час, тим вище це значення.
Різниця між простими та складними відсотками
Простіше кажучи, поправка застосовується до кожного періоду і враховує лише початкову вартість. При складених відсотках коригування проводиться на вже виправлених сумах.
З цієї причини складні відсотки також називають відсотками за відсотками, тобто сума коригується на суму, яка вже була скоригована.
Отже, для більш тривалих періодів інвестицій або позик коригування за складеними відсотками призведе до того, що остаточна сума, яка буде отримана або сплачена, буде більшою, ніж сума, отримана за допомогою простих відсотків.
Більшість фінансових операцій використовують корекцію за складеною процентною системою. Прості відсотки обмежуються лише короткостроковими операціями.
Проста формула відсотків
Простий відсоток обчислюється за такою формулою:
Бути,
J: відсотки
С: початкова вартість операції, яка називається капітальною фінансовою математикою
i: процентна ставка (сума, як правило, виражена у відсотках)
t: період операції
Ми також можемо розрахувати загальну суму, яку буде погашено (у разі інвестиції) або суми, яку потрібно повернути (у випадку позики) наприкінці заздалегідь визначеного періоду.
Ця величина, яка називається сумою, дорівнює сумі основного боргу плюс відсотки, тобто:
Ми можемо підставити значення J у формулу вище та знайти такий вираз для суми:
Формула, яку ми знайшли, є афінною функцією, тому значення суми лінійно зростає як функція часу.
Приклад
Якщо капітал у розмірі 1000,00 доларів щомісяця приносить 25,00 доларів, якою є річна процентна ставка в простій процентній системі?
Рішення
Спочатку визначимо кожну кількість, зазначену в задачі.
C = 1000,00 BRL
J = BRL 25,00
t = 1 місяць
i =?
Тепер, коли ми визначили всі величини, ми можемо підставити у формулу відсотків:
Однак зверніть увагу, що ця плата є щомісячною, оскільки ми використовуємо 1-місячний період. Щоб знайти річну плату, нам потрібно помножити це значення на 12, тож маємо:
i = 2,5,12 = 30% на рік
Формула складеного відсотка
Сума, яка капіталізується до складних відсотків, визначається за допомогою наступної формули:
Бути,
М: сума
С: капітал
i: процентна ставка
t: проміжок часу
На відміну від простих відсотків, у цьому типі капіталізації формула для обчислення суми передбачає експоненціальні зміни. Звідси пояснюється, що кінцеве значення значно збільшується протягом довших періодів.
Приклад
Обчисліть суму, вироблену на 2000 доларів, застосовувану за ставкою 4% на квартал, через один рік, у системі складених відсотків.
Рішення
Визначивши надану інформацію, ми маємо:
С = 2000
i = 4% або 0,04 на квартал
t = 1 рік = 4 чверті
М =?
Замінюючи ці значення у формулі складеного відсотка, маємо:
Отже, наприкінці року сума буде дорівнювати 2339,71 R $.
Розв’язані вправи
питання 1
Розрахунок суми
Яка сума інвестицій у розмірі 500,00 рублів за ставкою 3% на місяць протягом 1 року та 6 місяців у простих та складених процентних системах?
простий інтерес
Дані:
С = 500
i = 0,03
t = 18 місяців (1 рік + 6 місяців)
Сума буде стартовим капіталом плюс відсотки.
M = C + J
Відсоток:
J = C.i.t
J = 500,0.03,18 = 270
Тож сума буде:
M = C + J
М = 500 + 270
М = 770
Відповідь: Сума цієї заявки становитиме 770,00 R $.
Складені відсотки
Застосовуючи значення у формулі, маємо:
Відповідь: Сума інвестиції за режимом складених відсотків становить 851,21 R $.
питання 2
Розрахунок капіталу
Певний капітал застосовувався строком на 6 місяців. Ставка становила 5% на місяць. Після цього терміну сума становила 5000,00 R $. Визначте капітал.
простий інтерес
Доведення С на доказ у простій формулі відсотків:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C (1 + i.t)
Виділення С у рівняння:
Складені відсотки
Виділення С у формулі складеного відсотка та заміна значень:
Відповідь: Капітал повинен становити 4201,68 R $.
питання 3
Розрахунок процентної ставки
Якою була б щомісячна процентна ставка за інвестицією в 100 000 доларів США за вісім місяців, яка заробила 1600 доларів США?
простий інтерес
Застосування формули та підтвердження С:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C (1 + i.t)
Заміна значень та виконання числових обчислень:
у відсотках
I = 7,5%
Складені відсотки
Давайте скористаємось формулою складених відсотків і поділимо суму на основну суму.
питання 4
Розрахунок періоду заявки (часу)
Капітал у розмірі 8000 R $ був вкладений під щомісячний відсоток у розмірі 9%, отримавши суму в розмірі 10360,00 R $.
Як довго був вкладений цей капітал?
простий інтерес
Використовуючи формулу
Отже, час становить приблизно 3,27 місяця.
Складені відсотки
На цьому кроці ми стикаємося з експоненціальним рівнянням.
Для його вирішення ми будемо використовувати логарифм, застосовуючи логарифм однієї і тієї ж основи до обох сторін рівняння.
Використовуючи властивість логарифмів у правій частині рівняння, маємо:
питання 5
UECE - 2018
Магазин продає телевізор із наступними умовами оплати: перший внесок у розмірі 800,00 рублів та платіж у розмірі 450,00 рублів через два місяці. Якщо ціна спотового телевізора становить 1200,00 доларів, то проста щомісячна процентна ставка, вкладена в платіж, становить
А) 6,25%.
Б) 7,05%.
В) 6,40%.
Г) 6,90%.
Порівнюючи ціну телевізора готівкою (1200,00 доларів США) та суму, сплачену двома частинами, ми спостерігаємо, що відбулося зростання на 50,00 рублів, оскільки сплачена сума дорівнювала 1250,00 доларів США (800 + 450).
Щоб знайти нараховану ставку, ми можемо застосувати просту формулу відсотків, враховуючи, що відсотки були застосовані до залишку дебету (вартість телебачення за вирахуванням першого внеску). Отже, маємо:
С = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 місяці
J = C.i.t
50 = 400.і.2
Альтернатива: а) 6,25%
Еквівалентність капіталу
У фінансовій математиці важливо мати на увазі, що суми, що беруть участь в операції, будуть зміщені в часі.
З огляду на цей факт, проведення фінансового аналізу передбачає порівняння теперішніх цінностей з майбутніми. Таким чином, ми повинні мати спосіб зробити еквівалентність капіталу в різний час.
Коли ми обчислюємо суму, у формулі складеного відсотка, ми знаходимо майбутнє значення для t періодів часу, зі ставкою i, з теперішньої вартості.
Це робиться шляхом множення доданка (1 + i)немає за теперішньою вартістю, тобто:
Навпаки, якщо ми хочемо знайти теперішню вартість, знаючи майбутню вартість, ми проведемо ділення, тобто:
Приклад:
Щоб купити мотоцикл за вигідною ціною, людина попросила позику у 6 000,00 рублів у фінансовій компанії під 15% щомісячних відсотків. Через два місяці він заплатив 3000,00 доларів і сплатив борг наступного місяця.
Якою була сума останнього внеску, сплаченого особою?
Рішення
Якщо особа змогла погасити суму заборгованості за позикою, тоді сума, сплачена першим внеском плюс другий внесок, дорівнює сумі заборгованості.
Однак розстрочка коригувалась протягом періоду щомісячними відсотками. Тому, щоб відповідати цим сумам, ми повинні знати їх еквівалентні значення на ту саму дату.
Ми проведемо еквівалентність з урахуванням часу позики, як показано на діаграмі нижче:
Використовуючи формулу протягом двох і трьох місяців:
Отже, останній внесений платіж склав 5675,25 R $.
Вправа вирішена
питання 6
Позика була надана за щомісячною ставкою i% з використанням складних відсотків у восьми фіксованих частках, рівних P.
Боржник має можливість погасити борг заздалегідь у будь-який час, заплативши за це поточну вартість розстрочки, яку ще потрібно сплатити. Сплативши 5-й внесок, він вирішує погасити борг при сплаті 6-го внеску.
Вираз, який відповідає загальній сумі, сплаченій за погашення позики, є:
Відповідь: буква а
