Тригонометрія - важлива тема математики, яка дає змогу знати сторони та кути прямокутного трикутника через синус, косинус та тангенс, на додаток до інших тригонометричних функцій.
Щоб покращити навчання та розширити свої знання, дотримуйтесь переліку з 8 вправ, плюс 4 питання вступного іспиту, які вирішуються поетапно.
Вправа 1
Спостерігаючи вранці за тінню будівлі на землі, одна людина виявила, що вона вимірювала 63 метри, коли сонячні промені становили кут 30 ° до поверхні. Виходячи з цієї інформації, розрахуйте висоту будівлі.
Правильна відповідь: Приблизно 36,37 м.
Будівля, тінь і сонячний промінь визначають прямокутний трикутник. Використовуючи кут 30 ° і тангенс, ми можемо визначити висоту будівлі.
Оскільки висота будівлі дорівнює h, маємо:
Вправа 2
На окружності діаметром 3 відрізок AC, який називається хордою, утворює кут 90 ° з іншою хордою CB тієї ж довжини. Яка міра струн?
Правильна відповідь: Довжина мотузки 2,12 см.
Оскільки відрізки AC і CB утворюють кут 90 ° і мають однакову довжину, утворений трикутник рівнобедрений, а основні кути рівні.
Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °, і ми вже маємо кут 90 °, залишилось ще 90 °, які слід розділити порівну між двома базовими кутами. Таким чином, їх значення дорівнює 45º кожному.
Оскільки діаметр дорівнює 3 см, радіус становить 1,5 см, і ми можемо використовувати косинус 45 ° для визначення довжини струни.
Вправа 3
Велосипедист, який бере участь у чемпіонаті, підходить до фінішу на вершині схилу. Загальна довжина цієї останньої частини випробування становить 60 м, а кут, що утворюється між рампою та горизонталлю, становить 30 °. Знаючи це, обчисліть вертикальну висоту, на яку повинен піднятися велосипедист.
Правильна відповідь: Висота буде 30 м.
Називаючи висоту h, маємо:
Вправа 4
Наступна фігура утворена трьома трикутниками, де висота h визначає два прямі кути. Значеннями елементів є:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Знайдіть значення a + b.
Правильна відповідь:
Ми можемо визначити виміри відрізків a і b, використовуючи дотичні заданих кутів.
Розрахунок:
Розрахунок b:
Таким чином,
Вправа 5
Літак злетів з міста А і пролетів 50 км по прямій, поки не приземлився в місті Б. Потім він пролетів ще 40 км, на цей раз прямуючи до міста D. Ці два маршрути знаходяться під кутом 90 ° один до одного. Однак через несприятливі погодні умови пілот отримав повідомлення від диспетчерської вежі, в якому повідомлялося, що він не може сісти в місто D і що йому слід повернутися в місто A.
Для того, щоб зробити розворот з точки С, пілоту довелося б зробити поворот на скільки градусів праворуч?
Розглянемо:
гріх 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
загар 51 ° = 1,25
Правильна відповідь: Пілот повинен зробити поворот на 129 ° вправо.
Аналізуючи фігуру, ми бачимо, що шлях утворює прямокутний трикутник.
Давайте назвемо кут, який ми шукаємо W. Кути W і Z є додатковими, тобто вони утворюють невеликий кут 180 °.
Таким чином, W + Z = 180 °.
Ш = 180 - Z (рівняння 1)
Наше завдання зараз - визначити кут Z, і для цього ми будемо використовувати його тангенс.
Ми повинні запитати себе: який кут, тангенс якого дорівнює 1,25?
Проблема дає нам ці дані, загар 51 ° = 1,25.
Це значення також можна знайти в тригонометричній таблиці або за допомогою наукового калькулятора, використовуючи функцію:
Підставивши значення Z у рівняння 1, маємо:
Ш = 180 ° - 51 ° = 129 °
Вправа 6
Промінь монохроматичного світла, переходячи від одного середовища до іншого, зазнає відхилення до нього. Ця зміна його поширення пов'язана з показниками заломлення середовища, як показано в наступному співвідношенні:
Закон Снелла - Декарт
Де i і r - кути падіння та заломлення, а n1 та n2 - показники заломлення засобів 1 і 2.
При попаданні на поверхню розділення між повітрям і склом промінь світла змінює свій напрямок, як показано на малюнку. Що таке показник заломлення скла?
Дані: Показник заломлення повітря дорівнює 1.
Правильна відповідь: Показник заломлення скла дорівнює .
Заміна значень, які ми маємо:
Вправа 7
Щоб затягнути дерев’яне зруб у свою майстерню, слюсар прив’язав до колоди мотузку і протягнув її на десять футів по горизонтальній поверхні. Сила 40 Н, що проходить через струну, складає кут 45 ° із напрямком руху. Обчисліть роботу прикладеної сили.
Правильна відповідь: Виконана робота становить приблизно 84,85 Дж.
Робота - це скалярна величина, отримана добутком сили та переміщення. Якщо сила не має того ж напрямку, що і переміщення, ми повинні розкласти цю силу і врахувати лише компонент у цьому напрямку.
У цьому випадку ми повинні помножити величину сили на косинус кута.
Отже, маємо:
Вправа 8
Між двома горами жителям двох сіл довелося пройти важку дорогу вгору-вниз. Щоб вирішити ситуацію, було вирішено побудувати кабельний міст між селами А і Б.
Потрібно було б розрахувати відстань між двома селами по прямій лінії, на яку буде натягнутий міст. Оскільки мешканці вже знали висоту міст та кути підйому, цю відстань можна було розрахувати.
На основі наведеної нижче схеми та знаючи, що висота міст дорівнює 100 м, обчисліть довжину мосту.
Правильна відповідь: міст повинен мати довжину приблизно 157,73 м.
Довжина мосту - це сума сторін, прилеглих до заданих кутів. Називаючи висоту h, маємо:
Розрахунок за кутом 45 °
Розрахунок з кутом 60 °
Для визначення довжини моста підсумовуємо отримані значення.
питання 1
Cefet - SP
У трикутнику ABC внизу CF = 20 см і BC = 60 см. Позначте виміри сегментів AF та BE відповідно.
а) 5, 15
б) 10, 20
в) 15, 25
г) 20, 10
д) 10, 5
Відповідь: б) 10, 20
Для визначення AF
Ми зазначаємо, що AC = AF + CF, тому ми маємо:
AF = AC - CF (рівняння 1)
CF задається задачею, рівною 20 см.
AC можна визначити, використовуючи синус 30 °.
BC забезпечується задачею, дорівнюючи 60 см.
Підставивши в рівняння 1, маємо:
Для визначення БЕ
Перше спостереження:
Ми перевіряємо, що фігура всередині трикутника є прямокутником, завдяки прямим кутам, визначеним на малюнку.
Тому їх сторони паралельні.
Друге спостереження:
Відрізок BE утворює прямокутний трикутник з кутом 30 °, де: висота дорівнює AF, яку ми щойно визначили, а BE - гіпотенуза.
Виконання розрахунку:
Ми використовуємо синус 30 ° для визначення BE
питання 2
EPCAR-MG
Літак злітає з точки В під постійним нахилом 15 ° до горизонталі. 2 км від B - вертикальна проекція C найвищої точки D гірського хребта висотою 600 м, як показано на малюнку.
Дані: cos 15 ° = 0,97; гріх 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Правильно стверджувати, що:
а) Літак не зіткнеться з пилкою до досягнення висоти 540 м.
б) Відбудеться зіткнення літака та пилки на висоті 540 м.
в) Літак зіткнеться з пилкою в D.
г) Якщо літак вилітає на 220 м до точки В, зберігаючи однаковий нахил, зіткнення літака з пилкою не буде.
Відповідь: б) Відбудеться зіткнення літака та пилки на висоті 540 м.
По-перше, необхідно використовувати одне і те ж кратне одиниці виміру довжини. Тому ми пройдемо 2 км до 2000 м.
Дотримуючись однакових початкових умов польоту, ми можемо передбачити висоту, на якій буде знаходитися літак у вертикальній проекції точки С.
Використовуючи тангенс 15 ° і визначаючи висоту як h, маємо:
питання 3
ENEM 2018
Для прикраси прямого кругового циліндра буде використана прямокутна смужка прозорого паперу, на якій жирним шрифтом намальована діагональ, яка утворює 30 ° з нижнім краєм. Радіус основи циліндра вимірює 6 / π см, і при накручуванні смуги виходить лінія у формі спіралі, як показано на малюнку.
Значення вимірювання висоти циліндра в сантиметрах становить:
а) 36√3
б) 24√3
в) 4√3
г) 36
д) 72
Відповідь: б) 24√3
Спостерігаючи за малюнком, ми помічаємо, що навколо циліндра було зроблено 6 обертів. Оскільки це прямий циліндр, будь-де на його висоті ми матимемо за основу коло.
Для обчислення міри основи трикутника.
Довжину кола можна отримати за формулою:
Де r - радіус e, рівний ,ми маємо:
Як 6 кіл:
Ми можемо використовувати 30 ° засмаги для обчислення висоти.
питання 4
ENEM 2017
Сонячні промені досягають поверхні озера під кутом X його поверхнею, як показано на малюнку.
За певних умов можна припустити, що інтенсивність світла цих променів на поверхні озера задається приблизно як I (x) = k. sin (x), k - константа, і припускаючи, що X знаходиться між 0 ° і 90 °.
Коли x = 30º, інтенсивність світла зменшується до якого відсотка від її максимального значення?
А) 33%
Б) 50%
В) 57%
D) 70%
E) 86%
Відповідь: Б) 50%
Замінюючи значення функції 30 ° синуса у функції, отримуємо:
Зменшивши значення k наполовину, інтенсивність становить 50%.
Практикуйте більше вправ у:
Вправи з тригонометрії
Розширте свої знання за допомогою:
Тригонометрія в прямокутному трикутнику
Метричні співвідношення у прямокутному трикутнику
Тригонометрія
