Теорема Піфагора вказує, що в прямокутному трикутнику квадрат міри гіпотенузи дорівнює сумі квадратів мір катета.
Скористайтеся вирішеними та прокоментованими вправами, щоб відповісти на всі ваші сумніви щодо цього важливого змісту.
Запропоновані вправи (з роздільною здатністю)
питання 1
Карлос та Ана виїхали з дому на роботу з тієї ж точки, гаража будинку, де вони живуть. Через 1 хв, пройшовши перпендикулярний шлях, вони знаходились на відстані 13 м.
Якщо за цей час автомобіль Карлоса на 7 м перевищив автомобіль Анни, як далеко вони були від гаража?
а) Карлос знаходився в 10 м від гаража, а Ана - в 5 м.
б) Карлос знаходився в 14 м від гаража, а Ана - в 7 м.
в) Карлос був у 12 м від гаража, а Ана - у 5 м.
г) Карлос був у 13 м від гаража, а Ана - у 6 м.
Правильна відповідь: в) Карлос був у 12 м від гаража, а Ана - у 5 м.
Сторони прямокутного трикутника, утвореного в цьому питанні, є:
- гіпотенуза: 13 м
- більша ніжка: 7 + х
- коротша нога: х
Застосовуючи значення в теоремі Піфагора, маємо:
Тепер ми застосовуємо формулу Баскари, щоб знайти значення х.
Оскільки це міра довжини, ми повинні використовувати додатне значення. Отже, сторони прямокутного трикутника, утвореного в цьому питанні, є:
- гіпотенуза: 13 м
- довша нога: 7 + 5 = 12 м
- коротша нога: х = 5 м
Таким чином, Ана знаходилася за 5 метрів від гаража, а Карлос - за 12 метрів.
питання 2
Коли Карла шукала свого кошеня, побачила його на вершині дерева. Потім вона попросила матері про допомогу, і вони поставили сходи біля дерева, щоб допомогти коту спуститися.
Знаючи, що кішка була на відстані 8 метрів від землі, а основа сходів розташована на відстані 6 метрів від дерева, скільки часу використовували сходи для порятунку кошеня?
а) 8 метрів.
б) 10 метрів.
в) 12 метрів.
г) 14 метрів.
Правильна відповідь: б) 10 метрів.
Зверніть увагу, що висота, на якій знаходиться кішка, і відстань, на якій розташована основа сходів, утворюють прямий кут, тобто кут 90 градусів. Оскільки сходи розташована навпроти прямого кута, то її довжина відповідає гіпотенузі прямокутного трикутника.
Застосовуючи значення, наведені в теоремі Піфагора, ми виявляємо значення гіпотенузи.
Тому сходи довжиною 10 метрів.
питання 3
Відповідно до мір, представлених у альтернативах нижче, що представляє значення прямокутного трикутника?
а) 14 см, 18 см і 24 см
б) 21 см, 28 см і 32 см
в) 13 см, 14 см і 17 см
г) 12 см, 16 см і 20 см
Правильна відповідь: г) 12 см, 16 см і 20 см.
Щоб з’ясувати, чи представлені міри утворюють прямокутний трикутник, ми повинні застосувати теорему Піфагора до кожної альтернативи.
а) 14 см, 18 см і 24 см
б) 21 см, 28 см і 32 см
в) 13 см, 14 см і 17 см
г) 12 см, 16 см і 20 см
Отже, міри 12 см, 16 см і 20 см відповідають сторонам прямокутного трикутника, оскільки квадрат гіпотенузи, найдовшої сторони, дорівнює сумі квадрата катетів.
питання 4
Зверніть увагу на такі геометричні фігури, які мають одну сторону, розташовану в гіпотенузі прямокутного трикутника розмірами 3 м, 4 м і 5 м.
Знайдіть висоту (h) рівностороннього трикутника BCD та значення діагоналі (d) квадрата BCFG.
а) h = 4,33 м і d = 7,07 м
б) h = 4,72 м і d = 8,20 м
в) h = 4,45 м і d = 7,61 м
г) h = 4,99 м і d = 8,53 м
Правильна відповідь: а) h = 4,33 м і d = 7,07 м.
Оскільки трикутник рівносторонній, це означає, що три його сторони мають однакову міру. Накресливши лінію, яка відповідає висоті трикутника, ми розділили її на два прямокутні трикутники.
Те саме стосується квадрата. Коли ми проводимо його діагональну лінію, ми можемо побачити два прямокутних трикутника.
Застосовуючи дані твердження в теоремі Піфагора, знаходимо такі значення:
1. Обчислення висоти трикутника (прямокутний катет трикутника):
Потім ми приходимо до формули для розрахунку висоти. Тепер просто підставте значення L і обчисліть його.
2. Розрахунок діагоналі квадрата (гіпотенуза прямокутного трикутника):
Отже, висота рівностороннього трикутника BCD дорівнює 4,33, а діагональне значення квадрата BCFG дорівнює 7,07.
Дивіться теж: Теорема Піфагора
Вирішено питання вступного іспиту
питання 5
(Cefet / MG - 2016) Кайт, малюнок якого наведений нижче, був побудований у чотирикутнику формату ABCD, будучи і
. палицю
змія перетинає стрижень
в його середній точці E, утворюючи прямий кут. При будівництві цього повітряного змія заходи
використовуються відповідно 25 см і 20 см, а вимірювання
дорівнює
міри
.
За цих умов міра , в см, дорівнює
а) 25.
б) 40.
в) 55.
г) 70.
Правильна альтернатива: в) 55.
Спостерігаючи за цифрою запитання, ми бачимо, що сегмент DE, який ми хочемо знайти, такий самий, як сегмент BD, віднімаючи сегмент BE.
Отже, оскільки ми знаємо, що відрізок BE дорівнює 20 см, то нам потрібно знайти значення відрізка BD.
Зверніть увагу, що проблема дає нам таку інформацію:
Отже, щоб знайти міру BD, нам потрібно знати значення відрізка AC.
Оскільки точка Е ділить відрізок на дві рівні частини (середня точка), то . Тому першим кроком є пошук міри сегмента СЕ.
Щоб знайти вимірювання CE, ми виявили, що трикутник BCE - це прямокутник, BC - гіпотенуза, а BE і CE - катети, як показано на зображенні нижче:
Потім ми застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти міру катета.
252 = 202+ х2
625 = 400 + х2
х2 = 625 - 400
х2 = 225
x = √225
х = 15 см
Щоб знайти комір, ми також могли помітити, що трикутник піфагорейський, тобто виміри його сторін - це множинні числа вимірювань трикутника 3, 4, 5.
Таким чином, коли ми множимо 4 на 5, ми маємо значення коміра (20), а якщо множимо 5 на 5, то маємо гіпотенузу (25). Тому іншій нозі могло бути лише 15 (5. 3).
Тепер, коли ми знайшли значення ЕС, ми можемо знайти інші показники:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 см
Тому міра дорівнює 55 см.
Дивіться теж: Піфагор
питання 6
(МСФЗ - 2017) Розглянемо рівносторонній трикутник зі стороною 5√3 ܿ݉. Яка висота та площа цього трикутника відповідно?
Правильна альтернатива: д) 7,5 см та 75√3 / 4 см2
Спочатку намалюємо рівносторонній трикутник та побудуємо графік висоти, як показано на малюнку нижче:
Зверніть увагу, що висота ділить основу на два відрізки однакової міри, оскільки трикутник рівносторонній. Також зверніть увагу, що трикутник ACD на малюнку - це прямокутний трикутник.
Таким чином, щоб знайти міру висоти, ми будемо використовувати теорему Піфагора:
Знаючи вимірювання висоти, ми можемо знайти площу за формулою:
питання 7
(МСФЗ - 2016) На малюнку нижче значення x та y, відповідно, становить
Правильна альтернатива: а) 4√2 та √97.
Щоб знайти значення х, застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см.
х2 = 42 + 42
х2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 см
Щоб знайти значення у, ми також використаємо теорему Піфагора, враховуючи тепер, що одна нога вимірює 4 см, а інша - 9 см (4 + 5 = 9).
р2 = 42 + 92
р2 = 16 + 81
y = √97 см
Отже, значення x та y, відповідно, дорівнює 4√2 та √97.
питання 8
(Apprentice Sailor - 2017) Подивіться на малюнок нижче.
На малюнку вище представлений рівнобедрений трикутник ACD, у якому відрізок AB вимірює 3 см, нерівна сторона AD - 10√2 см, а відрізки AC і CD перпендикулярні. Тому правильним є твердження, що сегмент BD вимірює:
а) √53 см
б) √97 см
в) √111 см
г) √149 см
д) √161 см
Правильна альтернатива: г) √149 см
Беручи до уваги інформацію, представлену в задачі, ми будуємо малюнок нижче:
Згідно з малюнком ми знаходимо, що для знаходження значення х потрібно буде знайти міру тієї сторони, яку ми називаємо а.
Оскільки трикутник ACD є прямокутником, ми застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти значення катета a.
Тепер, коли ми знаємо значення a, ми можемо знайти значення x, розглядаючи прямокутний трикутник BCD.
Зверніть увагу, що ніжка BC дорівнює мірці катета мінус 3 см, тобто 10 - 3 = 7 см. Застосовуючи теорему Піфагора до цього трикутника, маємо:
Тому правильно стверджувати, що сегмент BD має розмір 9149 см.
питання 9
(IFRJ - 2013) Спортивний двір на території містечка Аррозал Федерального інституту має прямокутну форму, довжиною 100 м і шириною 50 м, представлений прямокутником ABCD на цьому малюнку.
Альберто і Бруно - двоє студентів, які займаються спортом у дворі. Альберто проходить від точки А до точки С по діагоналі прямокутника і повертається до початкової точки по тому ж шляху. Бруно починає з пункту Б, повністю обходить двір, проходячи по бічних лініях, і повертається до вихідної точки. Таким чином, враховуючи √5 = 2,24, стверджується, що Бруно ходив більше, ніж Альберто
а) 38 м.
б) 64 м.
в) 76 м.
г) 82 м.
Правильна альтернатива: в) 76 м.
Діагональ прямокутника ділить його на два прямокутні трикутники, гіпотенуза - це діагональ, а сторони рівні сторонам прямокутника.
Отже, для обчислення діагональної міри застосуємо теорему Піфагора:
Тоді як Альберто пішов і повернувся, тож він подолав 224 м.
Бруно подолав відстань, рівну периметру прямокутника, іншими словами:
р = 100 + 50 + 100 + 50
р = 300 м
Тому Бруно йшов на 76 м довше Альберто (300 - 112 = 76 м).
питання 10
(Enem - 2017) Для прикраси дитячого святкового столу кухар використовуватиме сферичну диню діаметром 10 см, яка послужить опорою для нарізання різних солодощів. Це видалить сферичну кришку з дині, як показано на малюнку, і, щоб забезпечити стабільність цієї опори, ускладнюючи катання дині по столу, бос зріже так, що радіус r ділянки кругового зрізу буде волохатим. мінус 3 см. З іншого боку, шеф-кухар захоче мати максимально можливу площу в регіоні, де будуть виправляти солодощі.
Для досягнення всіх своїх цілей бос повинен вирізати динну шапку на висоті h, в сантиметрах, що дорівнює
Правильна альтернатива: в) 1
Спостерігаючи за фігурою, представленою у питанні, ми виявили, що висоту h можна знайти, зменшивши міру відрізка OA від міри радіуса кулі (R).
Радіус кулі (R) дорівнює половині її діаметра, який у цьому випадку дорівнює 5 см (10: 2 = 5).
Тож нам потрібно знайти значення сегмента ОА. Для цього ми розглянемо трикутник OAB, представлений на малюнку нижче, і застосуємо теорему Піфагора.
52 = 32 + х2
х2 = 25 - 9
x = √16
х = 4 см
Ми також могли б знайти значення x безпосередньо, зазначивши, що це піфагорейські трикутники 3,4 і 5.
Отже, значення h буде дорівнює:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 см
Тому кухар повинен вирізати динну шапку на висоті 1 см.
питання 11
(Enem - 2016 - 2-а заявка) Бокчія - це вид спорту, що займається на кортах, які є рівною рівною місцевістю, обмеженою периметром дерев'яних платформ. Мета цього виду спорту - кидати кульки, які є кульками з синтетичного матеріалу розмістіть їх якомога ближче до боліму, який раніше являв собою менший куля, бажано зроблений зі сталі запущений. Малюнок 1 ілюструє м'яч для бочче і болим, які грали на корті. Припустимо, що гравець кинув м'яч радіусом 5 см, який притулився до боліму радіусом 2 см, як показано на малюнку 2.
Розглянемо точку С як центр кулі, а точку О як центр кулі. Відомо, що А і В - це точки, в яких м'яч для бочче і боллін відповідно торкаються землі майданчика, і що відстань між А і В дорівнює d. За цих умов, яке співвідношення між d і радіусом боліма?
Правильна альтернатива: д) √10
Щоб обчислити значення відстані d між точками А і В, побудуємо фігуру, що з'єднує центри двох сфер, як показано нижче:
Зверніть увагу, що фігура з синьою пунктирною формою нагадує трапецію. Давайте розділимо цю трапецію, як показано нижче:
Розбивши трапецію, ми отримаємо прямокутник і прямокутний трикутник. Гіпотенуза трикутника дорівнює сумі радіуса бочче-кулі з радіусом боліма, тобто 5 + 2 = 7 см.
Вимірювання однієї з ніжок дорівнює d, а вимірювання іншої ніжки дорівнює вимірюванню відрізка CA, який є радіусом м'яча для бочє, мінус радіус боліма (5 - 2 = 3) .
Таким чином, ми можемо знайти міру d, застосовуючи теорему Піфагора до цього трикутника, тобто:
72 = 32 - з2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Отже, співвідношення між відстанню d і болімом буде задано як:.
питання 12
(Enem - 2014) Щодня мешкання споживає 20 160 Вт · год. Ця резиденція має 100 сонячних батарей прямокутний (прилади, здатні перетворювати сонячне світло в електричну енергію) розміром 6 см x 8 см. Кожна така клітина протягом доби виробляє 24 Втч на сантиметр діагоналі. Власник цього будинку хоче виробляти щодня рівно стільки енергії, скільки споживає його будинок. Що цей власник повинен зробити для нього, щоб досягти своєї мети?
а) Видаліть 16 комірок.
б) Видаліть 40 клітин.
в) Додайте 5 клітинок.
г) Додайте 20 клітинок.
д) Додайте 40 клітинок.
Правильна альтернатива: а) Видаліть 16 комірок.
По-перше, вам потрібно буде з’ясувати, яка енергія виходить у кожній клітині. Для цього нам потрібно знайти міру діагоналі прямокутника.
Діагональ дорівнює гіпотенузі трикутника з катетами, рівними 8 см і 6 см. Потім ми обчислимо діагональ, застосовуючи теорему Піфагора.
Однак ми спостерігаємо, що трикутник, про який йде мова, є Піфагоревим, будучи кратним трикутникам 3,4 і 5.
Таким чином, вимірювання гіпотенузи буде дорівнювати 10 см, оскільки сторони піфагорейського трикутника 3,4 і 5 множать на 2.
Тепер, коли ми знаємо діагональне вимірювання, ми можемо розрахувати енергію, вироблену 100 клітинками, тобто:
Е = 24. 10. 100 = 24000 Вт · год
Оскільки споживана енергія дорівнює 20 160 Вт · год, нам доведеться зменшити кількість клітин. Щоб знайти це число, ми зробимо:
24 000 - 20 160 = 3840 Вт · год
Розділивши це значення на енергію, що виробляється клітиною, ми знаходимо число, яке слід зменшити, тобто:
3 840: 240 = 16 клітин
Тому дією власника для досягнення своєї мети має бути видалення 16 клітин.
Щоб дізнатись більше, див. Також: Вправи з тригонометрії
