Таблиця правди або таблиця істини - це математичний інструмент, який широко використовується в галузі логічних міркувань. Його мета - перевірити логічну обґрунтованість складеної пропозиції (аргумент, сформований двома або більше простими твердженнями).
Приклади складених пропозицій:
- Джон високий і Мері невисока.
- Петро високий або Джоана - блондинка.
- якщо Петро високий, тоді Джоан - руда.
Кожне з вищезазначених складених тверджень утворене двома простими пропозиціями, об’єднаними жирними сполучними зв’язками. Кожне просте твердження може бути істинним чи хибним, і це безпосередньо означатиме логічне значення складеного твердження. Якщо прийняти фразу "Джон високий, а Мері невисокий”, Можливими оцінками цього звіту будуть:
- Якщо Джон високий, а Мері невисока, фраза "Джон високий, а Мері низька" - ІСТИНА.
- Якщо Джон високий, а Мері невисока, фраза "Джон високий, а Мері низька" неправдива.
- Якщо Джон не високий, а Мері невисока, фраза "Джон високий, а Мері низька" неправдива.
- Якщо Джон не високий, а Мері не низький, фраза "Джон високий, а Мері низька" неправдива.
У таблиці правди викладено ці самі міркування (див. Тему Сполучник внизу) більш безпосередньо. Крім того, можуть застосовуватися правила таблиці правди. незалежно від кількості пропозицій у реченні.
Як це працює?
Спочатку перетворіть пропозиції запитання на символи, що використовуються в логіці. Список загальновживаних символів:
| Символ | Логічна операція | Значення | Приклад |
|---|---|---|---|
| P | . | Пропозиція 1 | р = Джон високий. |
| що | . | Твердження 2 | q = Мері коротка. |
| ~ | Заперечення | немає | Якщо Джон високий, "~ стор"це підробка. |
| ^ | Сполучник | і | P^що = Джон високий, а Мері невисокий. |
| v | Диз'юнкція | або | Pvq = Джон високий або Мері невисокий. |
| → | Умовна | якщо тоді | P→що = Якщо Джон високий, то Мері низький. |
| ↔ | двоумовний | якщо і тільки якщо | P↔q = Джон високий тоді і лише тоді, коли Мері низького зросту. |
Потім складається таблиця з усіма можливостями оцінки складеної пропозиції, замінюючи твердження символами. Варто уточнити, що у випадках, коли є більше двох пропозицій, вони можуть символізуватися буквами р, s, і так далі.
Нарешті, застосовується логічна операція, визначена показаним з'єднувачем. Як перераховано вище, ці операції можуть бути: заперечення, сполучення, диз'юнкція, умовна та двоумовна.
Заперечення
Заперечення символізується ~. Логічна операція заперечення є найпростішою і часто не вимагає використання таблиці істинності. Слідуючи тому ж прикладу, якщо Джон високий (p), кажучи, що Джон не високий (~ p), це НЕВИЩНО, і навпаки.
Сполучник
Сполучник символізується символом ^. Приклад "Джон високий, а Мері невисока" буде символізовано "стор^q "і таблиця істинності буде такою:
Сукупність пропонує ідею накопичення, тому, якщо одне з простих тверджень хибне, складене твердження не може бути істинним.
Висновок: сполучникові складені пропозиції (містять сполучник і) буде істинним лише тоді, коли всі його елементи є істинними.
Приклад:
- Пауло, Ренато і Туліо добрі, а Кароліна смішна. - Якщо Пауло, Ренато чи Туліо не добрі або Кароліна не смішна, пропозиція буде НЕВИЩНОЮ. Потрібно, щоб всі інформація правдива, якщо складене твердження має значення TRUE.
Диз'юнкція
Роз'єднання символізується символом v. Зміна сполучного з прикладу вище на або у нас буде "Джон високий, а Мері невисокий". У цьому випадку фразу буде символізувати "сvq "і таблиця істинності буде такою:
Диз’юнкція передбачає ідею чергування, отже, достатньо, щоб одне з простих тверджень було істинним, щоб і складене було істинним.
Висновок: диз’юнктивні складені пропозиції (які містять сполучникову або) буде помилковим лише тоді, коли всі його елементи хибні.
Приклад:
- Моя мама, тато чи дядько подарують мені подарунок. - Щоб твердження було ІСТИННИМ, достатньо, щоб подарунок подарував лише один із матері, батька чи дядька. Твердження буде ЛИЖНИМ, лише якщо ніхто з них не дасть.
Умовна
Умовне символізується символом →. Це виражається сполучними якщо і тоді, які пов’язують між собою прості судження у причинно-наслідкових зв’язках. Приклад "Якщо Пауло з Ріо-де-Жанейро, то він бразилець" стає "с→q "і таблиця істинності буде такою:
Умовні мають попереднє та наступне пропозиції, відокремлені сполучною тоді. При аналізі умовних умов необхідно оцінити, в яких випадках пропонується можливо, розглядаючи взаємозв'язок імплікації між попередником і наслідком.
Висновок: Умовні складені пропозиції (містять сполучники якщо і тоді) буде помилковим лише в тому випадку, якщо перша пропозиція відповідає дійсності, а друга помилкова.
Приклад:
- Якщо Пауло з Ріо, то він бразилець. - Щоб ця пропозиція вважалася ІСТИННОЮ, необхідно оцінити випадки, коли це МОЖЛИВО. Відповідно до таблиці істинності вище, ми маємо:
- Пауло з Ріо / Пауло - бразилець = МОЖЛИВО
- Пауло з Ріо-де-Жанейро / Пауло не бразилець = НЕМОЖЛИВО
- Пауло не з Ріо / Пауло бразилець = МОЖЛИВО
- Пауло не каріока / Пауло не бразилець = МОЖЛИВО
двоумовний
Бікондиційне символізується ↔. Це читається через сполучні якщо і тільки якщо, які зв’язують між собою прості твердження у відношенні еквівалентності. Приклад "Джон щасливий тоді і лише тоді, коли Мері посміхається". стає "с↔q "і таблиця істинності буде такою:
Бікондиціонали пропонують ідею взаємозалежності. Як видно з назви, бікондиціонал складається з двох умовних умов: один починається з P для що (Стор→q), а інший у зворотному напрямку (q→Р).
Висновок: At двоскладні складені пропозиції (містять сполучники якщо і тільки якщо) буде істинним лише тоді, коли всі твердження відповідають дійсності, або всі твердження хибні.
Приклад:
- Жоао щасливий тоді і лише тоді, коли Марія посміхнеться. - Це означає сказати, що:
- Якщо Джон щасливий, Мері посміхається, а якщо Мері посміхається, Джон щасливий = РЕАЛЬНИЙ
- Якщо Джон не щасливий, Мері не посміхається, а якщо Мері не посміхається, Джон не щасливий = РЕАЛЬНИЙ
- Якщо Жоао щасливий, Марія не посміхається = FALSE
- Якщо Жоао не задоволений, Марія посміхається = FALSE
Огляд
Вчені таблиці правди зазвичай запам’ятовують висновки кожної з логічних операцій. Щоб заощадити час при вирішенні проблем, завжди майте на увазі, що:
- Сполучні пропозиції: Вони будуть істинними лише тоді, коли всі елементи істинні.
- Відмовні пропозиції: Це буде помилковим лише тоді, коли всі елементи хибні.
- Умовні пропозиції: Вони будуть хибними лише тоді, коли перша пропозиція відповідає дійсності, а друга помилкова.
- Бікондиційні пропозиції: Це буде правдою лише тоді, коли всі елементи істинні, або всі елементи хибні.