Вправи на складні числа: Список вирішених питань та відгуки

ти комплексні числа дають можливість розв’язувати математичні задачі, які не мають розв’язків у множині дійсних чисел.

У комплексному числі, записаному як $\ dpi {120} z = a + bi$ , ми говоримо це $\ dpi {120} до$ це реальна частина, $\ dpi {120} b$ є уявною частиною і $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ це уявна одиниця.

Виконувати операції з комплексними числами, є деякі вирази, що полегшують обчислення. Поміркуйте $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ і $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Вираз додавання між комплексними числами:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Вираз віднімання між комплексними числами:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Вираз множення між комплексними числами:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Вираз поділу між комплексними числами:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Нижче наведено список питання, розв’язані вправами на комплексні числа. Навчіться використовувати кожне з понять, що включають ці числа!

Індекс

Перелік вправ на комплексні числа
Вирішення питання 1
Вирішення питання 2
Вирішення питання 3
Вирішення питання 4
Вирішення питання 5
Вирішення питання 6
Вирішення питання 7
Вирішення питання 8

Перелік вправ на комплексні числа

Питання 1. Розглядаючи комплексні числа $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ і $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ визначити значення $\ dpi {120} A$ , Коли $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Питання 2. Знайдіть значення $\ dpi {120} x$ і $\ dpi {120} р$ такий як $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Питання 3. Розглядаючи комплексні числа $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ і $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , визначити значення $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Коли $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ і $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

instagram story viewer

Питання 4. Обчисліть значення $\ dpi {120} стор$ і $\ dpi {120} q$ для чого $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Коли $\ dpi {120} z_1 = 3 - пі$ і $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Питання 5. Визначте значення $\ dpi {120} до$ для чого $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ бути чистим уявним числом.

Питання 6. Обчисліть такі уявні одиниці потужностей $\ dpi {120} i$ :

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$
Б) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
г) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Питання 7. Знайдіть рішення рівняння $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ у множині комплексних чисел.

Питання 8. Визначте розв’язок рівняння $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ у множині комплексних чисел.

Вирішення питання 1

Ми маємо $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ і $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ і $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ і ми хочемо визначити значення $\ dpi {120} A$ , Коли $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Спочатку давайте обчислимо $\ dpi {120} 4z_3$ і $\ dpi {120} 3z_1$ , окремо:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Тепер давайте обчислимо $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Вирішення питання 2

Ми хочемо знайти x та y так, щоб $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Виражаючи суму між двома комплексними числами, ми маємо:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Тож маємо мати $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ і $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Розв’яжемо ці два рівняння, щоб знайти х та у.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Вирішення питання 3

Ми маємо $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ і $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ і ми хочемо визначити значення $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Коли $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ і $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Спочатку обчислюємо $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

За виразом множення між двома комплексними числами ми маємо:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Тепер давайте обчислимо $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Отже, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Вирішення питання 4

Ми хочемо обчислити значення $\ dpi {120} стор$ і $\ dpi {120} q$ для чого $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Коли $\ dpi {120} z_1 = 3 - пі$ і $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Це означає знайти $\ dpi {120} стор$ і $\ dpi {120} q$ так що:

Перегляньте кілька безкоштовних курсів

Безкоштовний Інтернет-курс інклюзивної освіти
Безкоштовна онлайн-бібліотека іграшок та навчальний курс
Безкоштовний онлайн-курс з математичних ігор з дошкільної освіти
Безкоштовний Інтернет-курс педагогічних культурних майстер-класів

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Виражаючи ділення між двома комплексними числами, ми маємо:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Поєднавши дві умови, ми повинні мати:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Тобто:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Розв’яжемо кожне з цих рівнянь, починаючи з другого, яке залежить лише від p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Тепер ми знаходимо q за іншим рівнянням:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Вирішення питання 5

Ми хочемо знайти значення $\ dpi {120} до$ для чого $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ бути чистим уявним числом.

Чисто уявне число - це число, дійсна частина якого дорівнює нулю.

Розглядаючи вираз ділення між двома комплексними числами, маємо, що:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Щоб це число було чисто уявним, ми повинні мати:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Вирішення питання 6

Визначаючи степені та комплексні числа, ми повинні:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Спостерігайте за шаблоном, який повторюється кожні чотири послідовні ступені: 1, i, -1 та -i.

Таким чином, щоб знайти результат за будь-якої степені i, просто розділіть показник степеня на 4. Залишок від ділення буде дорівнювати 0, 1, 2 або 3, і це значення буде показником, який ми повинні використовувати.

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, а решта - 0.

Тоді, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .