Кут між двома векторами

В математиці або фізиці вектори вони є прямі відрізки з напрямком, напрямком та довжиною, які використовуються для представлення таких величин, як сила, швидкість та прискорення.

Вектори вказують траєкторії і можуть бути визначені за допомогою системи координат (x, y). Розглядаючи точку (0,0) як початок відрізка, на малюнку нижче показано вектор $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ кінцем якого є суть $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Позначення: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

висвячений $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ називається горизонтальною складовою і абсцисою $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , вертикальної складової.

Тепер розглянемо, крім вектора $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , інший вектор $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ і кут, утворений між ними, як показано на малюнку нижче.

Цей кут між векторами можна обчислити за формулою, яка включає точковий добуток між векторами та норму (довжину) кожного вектора.

Кут між двома векторами

Два векторних кістки $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ і $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , косинус кута $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ серед них пов'язаний з внутрішнім продуктом між векторами та їхніми стандартами наступним чином:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Чисельник дробу - це внутрішній добуток між векторами, заданий:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

А знаменник - це добуток між еталонами кожного з векторів, наступним чином:

Перегляньте кілька безкоштовних курсів

instagram story viewer

Безкоштовний Інтернет-курс інклюзивної освіти
Безкоштовна онлайн-бібліотека іграшок та навчальний курс
Безкоштовний онлайн-курс з математичних ігор з дошкільної освіти
Безкоштовний Інтернет-курс педагогічних культурних майстер-класів

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Виконуючи заміну, ми перевірили, що формула кута між двома векторами é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Приклад:

Обчисліть кут між векторами $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ і $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Застосовуючи значення у формулі, ми маємо:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ ліворуч (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ праворуч)}$

Використання калькулятора або a тригонометрична таблиця, ми можемо бачити, що:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32,47 ^ {\ circ}}$

Вас також можуть зацікавити:

Луки з кількома оборотами
Дуги та кругові рухи
тригонометричне коло
швидкість транспортного засобу

Пароль надіслано на ваш електронний лист.

Кут між двома векторами

Кут між двома векторами

10 найбільших країн світу за територією

18 Математичні загадки з відповідями

Колискові з бразильського фольклору