Тригонометричні функції півдуги

В тригонометричні функції, синус, косинус і тангенс половини дуги можна отримати з тригонометричних функцій подвійної дуги.

Дана дуга міри $\ dpi {120} \ альфа$ , подвійний лук - це лук $\ dpi {120} 2 \ alpha$ а половина лука - це лук $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Автор дві формули додавання дуги, маємо тригонометричні функції подвійної дуги:

Синус:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ альфа} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

косинус:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ альфа} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Дотична:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - загар \, {\ alpha} \ cdot загар \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

З цих формул ми покажемо формули для напівдугові тригонометричні функції.

Тригонометричні функції півдуги

Один з фундаментальні співвідношення тригонометрії чи це:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Де ми беремо:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

замінюючи $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ у формулі косинуса подвійної дуги маємо, що:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Перегляньте кілька безкоштовних курсів

Безкоштовний Інтернет-курс інклюзивної освіти
Безкоштовна онлайн-бібліотека іграшок та навчальний курс
Безкоштовний онлайн-курс з математичних ігор з дошкільної освіти
Безкоштовний онлайн-курс педагогічних культурних майстер-класів

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Тому: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

замінюючи $\ dpi {120} \ альфа$ за $\ dpi {120} \ alpha / 2$ у наведеній вище формулі та виділення квадратного кореня з обох сторін маємо формулу для косинус дуги наполовину:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примітка: Знак у формулі буде позитивним або негативним відповідно до квадранта половини дуги.

instagram story viewer

Зараз замінює $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ у формулі косинуса подвійної дуги маємо, що:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - сен ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Тому:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

замінюючи $\ dpi {120} \ альфа$ за $\ dpi {120} \ alpha / 2$ у наведеній вище формулі та виділення квадратного кореня з обох сторін маємо формулу для синус дуги наполовину:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примітка: Знак у формулі буде позитивним або негативним відповідно до квадранта половини дуги.

Нарешті, ми можемо отримати тангенс половини дуги, розділивши синус дуги на половину косинуса половини дуги:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ альфа}}}$

Тому формула наполовину дугова дотична é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ альфа}}}}$

Примітка: Знак у формулі буде позитивним або негативним відповідно до квадранта половини дуги.

Вас також можуть зацікавити:

тригонометричне коло
тригонометрична таблиця
Тригонометричні співвідношення
закон про гріхи
закон косинусів

Пароль надіслано на ваш електронний лист.

Тригонометричні функції півдуги

Тригонометричні функції півдуги

Легенда про водяну лілію, зірку вод

Корінні народи в Бразилії

Ігри на свіжому повітрі