Тригонометричні функції півдуги

В тригонометричні функції, синус, косинус і тангенс половини дуги можна отримати з тригонометричних функцій подвійної дуги.

Дана дуга міри $\ dpi {120} \ альфа$ , подвійний лук - це лук $\ dpi {120} 2 \ alpha$ а половина лука - це лук $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Автор дві формули додавання дуги, маємо тригонометричні функції подвійної дуги:

Синус:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ альфа} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

косинус:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ альфа} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Дотична:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - загар \, {\ alpha} \ cdot загар \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

З цих формул ми покажемо формули для напівдугові тригонометричні функції.

Тригонометричні функції півдуги

Один з фундаментальні співвідношення тригонометрії чи це:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Де ми беремо:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

замінюючи $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ у формулі косинуса подвійної дуги маємо, що:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Перегляньте кілька безкоштовних курсів

Безкоштовний Інтернет-курс інклюзивної освіти
Безкоштовна онлайн-бібліотека іграшок та навчальний курс
Безкоштовний онлайн-курс з математичних ігор з дошкільної освіти
Безкоштовний онлайн-курс педагогічних культурних майстер-класів

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Тому: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

замінюючи $\ dpi {120} \ альфа$ за $\ dpi {120} \ alpha / 2$ у наведеній вище формулі та виділення квадратного кореня з обох сторін маємо формулу для косинус дуги наполовину:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примітка: Знак у формулі буде позитивним або негативним відповідно до квадранта половини дуги.

instagram story viewer

Зараз замінює $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ у формулі косинуса подвійної дуги маємо, що:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - сен ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Тому:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

замінюючи $\ dpi {120} \ альфа$ за $\ dpi {120} \ alpha / 2$ у наведеній вище формулі та виділення квадратного кореня з обох сторін маємо формулу для синус дуги наполовину:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Примітка: Знак у формулі буде позитивним або негативним відповідно до квадранта половини дуги.

Нарешті, ми можемо отримати тангенс половини дуги, розділивши синус дуги на половину косинуса половини дуги:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ альфа}}}$

Тому формула наполовину дугова дотична é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ альфа}}}}$

Примітка: Знак у формулі буде позитивним або негативним відповідно до квадранта половини дуги.

Вас також можуть зацікавити:

тригонометричне коло
тригонометрична таблиця
Тригонометричні співвідношення
закон про гріхи
закон косинусів

Пароль надіслано на ваш електронний лист.

Тригонометричні функції півдуги

Тригонометричні функції півдуги

Що таке феодалізм?

Походження Всесвіту: знати основні теорії та пояснення

Номінальна ставка та реальна процентна ставка