THE Охарактеризовано рівняння 2 ступеня для одного багаточлен ступеня 2, тобто багаточлен типу ax2+ bx + c, де , B і ç вони є дійсних чисел. Розв’язуючи рівняння ступеня 2, нас цікавить пошук значень невідомого. х що робить значення виразу рівним 0, які називаються коренями, тобто ax2 + bx + c = 0.
Читайте теж: Різниця між функцією та рівнянням
Типи рівнянь 2 ступеня
Рівняння 2-го ступеня може бути представлене ax² + bx + c = 0, де коефіцієнти , B і ç є дійсними числами, с ≠ 0.
→ Приклади
а) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 і c = - 6
б) х2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 і c = 2
в) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 і c = -1
Рівняння 2-го ступеня класифікується як повна коли всі коефіцієнти відрізняються від 0, тобто, ≠ 0, B ≠ 0 та ç ≠ 0.
Рівняння 2-го ступеня класифікується як неповна коли значення коефіцієнтів B або ç дорівнюють 0, тобто b = 0 або c = 0.
→ Приклади
а) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 і c = - 4
б) -х2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 і c = 0
в) х2 = 0 → a = 1; b = 0 і c = 0
Увага: значення коефіцієнта воно ніколи не дорівнює 0, якщо це трапляється, рівняння вже не є 2-м ступенем.
Як розв’язати рівняння 2 ступеня?
Рішення рівняння 2-го ступеня відбувається, коли коріння знайдені, тобто значення, присвоєні х. Ці значення х повинен зробити рівність істинною, тобто, підставляючи значення х у виразі результат повинен дорівнювати 0.
→ Приклад
Розглядаючи рівняння x2 - 1 = 0 маємо, що x ’= 1 та x’ ’= - 1 є розв’язками рівняння, оскільки підставляючи ці значення у виразі, ми маємо справжню рівність. Подивіться:
х2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 та (–1)2 – 1 = 0
Щоб знайти рішення a рівняння, необхідно проаналізувати, чи є рівняння повним та неповним, та вибрати, який метод буде використаний.
Метод рішення рівнянь типу сокира²+ c = 0
Метод визначення рішення неповних рівнянь, які мають B=0складається з ізоляції невідомого х, таким чином:
→ Приклад
Знайдіть корені рівняння 3x2 – 27 = 0.
Якщо ви хочете дізнатись більше про цей метод, перейдіть за посиланням: неповне рівняння 2-го ступеня з нульовим коефіцієнтом b.
Метод рішення рівнянь типу сокира2 + bx = 0
Метод визначення можливих розв'язків рівняння з ç = 0, складається з використання факторинг доказів. Подивіться:
сокира2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Дивлячись на останню рівність, помітно, що відбувається множення, і щоб результат був 0, необхідно, щоб принаймні один із множників дорівнював 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 або сокира + b = 0
Таким чином, рішення рівняння задається:
→ Приклад
Визначте розв’язок рівняння 5x2 - 45x = 0
Якщо ви хочете дізнатись більше про цей метод, перейдіть за посиланням: неповне рівняння 2-го ступеня з нульовим коефіцієнтом c.
Метод розв’язання повних рівнянь
Метод, відомий як Метод Баскари або Формула Баскари вказує, що коріння рівняння 2-го ступеня типу ax2 + bx + c = 0 задається наступним співвідношенням:
→ Приклад
Визначте розв’язок рівняння х2 - x - 12 = 0.
Зверніть увагу, що коефіцієнтами у рівнянні є: a = 1; B= - 1 і ç = – 12. Підставляючи ці значення у формулу Баскари, маємо:
Дельта (Δ) названа на честь дискримінаційний і зауважте, що він знаходиться всередині a квадратний корінь і, як ми знаємо, беручи до уваги реальні числа, неможливо витягнути квадратний корінь з від’ємного числа.
Знаючи значення дискримінанта, ми можемо зробити кілька тверджень щодо рішення рівняння 2-го ступеня:
→ позитивний дискримінант (Δ> 0): два рішення рівняння;
→ дискримінант, рівний нулю (Δ = 0): розв’язки рівняння повторюються;
→ негативний дискримінант (Δ <0): не визнає реального рішення.
Системи рівнянь другого ступеня
Коли ми одночасно розглядаємо два або більше рівнянь, ми маємо a система рівнянь. Рішенням 2-змінної системи є набір впорядкованих пар який одночасно задовольняє всі задіяні рівняння.
→ Приклад
Розглянемо систему:
За значеннями: x ’= 2, x’ ’= - 2 та y’ = 2, y ’’ = - 2 ми можемо зібрати впорядковані пари, які задовольняють системні рівняння одночасно. Див.: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Нагадаємо, що впорядкована пара записується у вигляді (x, y).
Методи пошуку рішення системи рівнянь подібні до методів лінійні системи.
→ Приклад
Розглянемо систему:
З рівняння x - y = 0 виділимо невідоме х, таким чином:
x - y = 0
x = y
Тепер ми повинні підставити ізольоване значення в інше рівняння, ось так:
х2 - x –12 = 0
р2 - y –12 = 0
Використовуючи метод Баскари, ми маємо:
Оскільки x = y, ми матимемо x ’= y’ та x ’’ = y ’’. Тобто:
x ’= 4
x ’’ = -3
Отже, впорядковані пари є рішеннями системи (4, 4) та (- 3, - 3).
читати далі: Система рівнянь 1 та 2 ступеня
Вправи вирішені
питання 1 - (ESPM -SP) Рішення рівняння нижче - це два числа
а) кузени.
б) позитивні.
в) негативні.
г) парами.
д) непарні.
Рішення
Ми знаємо, що знаменники дробу не можуть дорівнювати нулю, тому x ≠ 1 і x ≠ 3. А оскільки ми маємо рівність дробів, ми можемо перемножувати, отримуючи:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
х2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
х2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Розділивши обидві сторони рівняння на 2, маємо:
х2 - 4x - 5 = 0
З використанням формули Баскари випливає, що:
Зверніть увагу, що коренями рівняння є непарні числа.
Альтернатива e.
питання 2 - (UFPI) Птахівник виявив, що після розміщення (n +2) птахів у кожному з n наявних вольєрів залишиться лише одна птиця. Загальна кількість птахів при будь-якій природній величині n завжди
а) парне число.
б) непарне число.
в) ідеальний квадрат.
г) число, що ділиться на 3.
д) просте число.
Рішення
Кількість птахів можна знайти, помноживши кількість вольєрів на кількість птахів, розміщених у кожному. з них, згідно з вправою після виконання цього процесу, залишився ще один птах, ми можемо написати все це в наступному манера:
n · (n + 2) +1
Виконуючи розподільність, ми отримаємо:
немає2 + 2n +1
І з множника на цей поліном випливає, що:
(n + 1)2
Таким чином, загальна кількість птахів завжди є ідеальним квадратом для будь-якого природного числа n.
Альтернатива С
Робсон Луїс
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm