Враховуючи коло з центром O, радіусом r і двома точками A і B, що належать колу, ми маємо, що відстань між позначеними точками є дугою кола. Довжина дуги пропорційна мірі центрального кута, чим більший кут, тим більша довжина дуги; і чим менший кут, тим коротша довжина дуги.
Для визначення довжини кола ми використовуємо такий математичний вираз: C = 2 * π * r. Повний поворот по колу представлений 360º. Зробимо порівняння довжини окружності в лінійній мірі (ℓ) та кутовій мірі (α), зверніть увагу:
лінійний |
кутова |
2 * π * r |
360º |
ℓ |
α |
Цей вираз можна використовувати для визначення довжини дуги кола радіуса r та центрального кута α у градусах. У цих випадках використовують π = 3,14.
Якщо центральний кут задано в радіанах, ми використовуємо такий вираз: ℓ = α * r.
Приклад 1
Визначте довжину дуги з центральним кутом, рівним 30 °, що міститься в окружності радіусом 2 см.
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 см
Довжина лука складе 1,05 сантиметра.
Приклад 2
Хвилинна стрілка настінного годинника вимірює 10 см. Скільки місця пройде рука через 30 хвилин?
Дивіться зображення годинника:
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º
ℓ = 5652 / 180
ℓ = 31,4 см
Простір, що охоплюється хвилинною стрілкою, становитиме 31,4 сантиметра.
Приклад 3
Визначте довжину дуги з центральним кутом розміром π / 3, що міститься в окружності радіусом 5 см.
ℓ = α * r
ℓ = π/3 * 5
ℓ = 5π/3
ℓ = 5*3,14 / 3
ℓ = 15,7 / 3
ℓ = 5,23 см
Приклад 4
Маятник довжиною 15 см коливається між А і В під кутом 15 °. Яка довжина траєкторії, що описується її границею між А та В?
ℓ = α * π * r / 180º
ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º
ℓ = 706,5 / 180
ℓ = 3,9 см
Довжина траєкторії руху від А до В становить 3,9 сантиметра.
Марк Ной
Закінчив математику
Шкільна команда Бразилії
Тригонометрія - Математика - Бразильська школа
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/comprimento-um-arco.htm
