Один із прийомів, що використовується для розв’язання квадратні рівняння - метод, відомий як повні квадрати. Цей метод складається з інтерпретації рівняння з другеступінь як ідеальний трикутник квадрата і напишіть свою факторну форму. Іноді ця проста процедура вже виявляє коріння рівняння.
Тому необхідно мати базові знання про помітні товари, тричленнийплощаІдеально і множник на множники використовувати цю техніку. Однак часто це дозволяє робити розрахунки "в голову".
Тому ми згадаємо три випадки продуктівчудовий перед демонстрацією методЗавершуватиквадрати, який, у свою чергу, буде викритий у трьох різних випадках.
Видатні вироби та ідеальні квадратні тричлени
Далі подивіться чудовий продукт, тричленнийплощаІдеально що еквівалентно їй і формі враховано цього тричлена відповідно. Для цього враховуйте, що x невідомий і - будь-яке дійсне число.
(x + k)2 = х2 + 2kx + k2 = (x + k) (x + k)
(х - к)2 = х2 - 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Рівняння другого ступеня, що стосується третього продуктучудовий, відомий як добуток суми та різниці, може бути вирішений за допомогою техніки, яка робить розрахунки ще простішими. Як результат, його тут не розглядатимуть.
Рівняння є ідеальним квадратним тричленами
Якщо один рівняння з другеступінь є ідеальним квадратним триномом, тоді ви можете визначити його коефіцієнти як: a = 1, b = 2k або - 2к і c = k2. Щоб перевірити це, просто порівняйте квадратне рівняння з a тричленнийплощаІдеально.
Отже, у вирішенні рівняння з другеступінь х2 + 2kx + k2 = 0, ми завжди матимемо можливість зробити:
х2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√ [(x + k)2] = √0
| x + k | = 0
x + k = 0
x = - k
- x - k = 0
x = - k
Таким чином, рішення є унікальним і дорівнює –k.
Якщо рівняння бути х2 - 2kx + k2 = 0, ми можемо зробити те ж саме:
х2 - 2kx + k2 = 0
(х - к)2 = 0
√ [(x - k)2] = √0
| х - к | = 0
x - k = 0
x = k
- x + k = 0
- x = - k
x = k
Отже, рішення є унікальним і дорівнює k.
Приклад: У чому коріння рівняння х2 + 16x + 64 = 0?
Зверніть увагу, що рівняння є a тричленнийплощаІдеально, оскільки 2k = 16, де k = 8, і k2 = 64, де k = 8. Тож ми можемо написати:
х2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
х = - 8
Тут результат був спрощений, оскільки ми вже знаємо, що два рішення будуть дорівнювати одному реальному числу.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Рівняння не є ідеальним квадратним тричленами
У випадках, коли рівняння з другеступінь не є ідеальним квадратним тричленами, ми можемо розглянути таку гіпотезу для обчислення його результатів:
х2 + 2kx + C = 0
Зверніть увагу, що для того, щоб це рівняння перетворилося на a тричленнийплощаІдеально, просто замініть значення C на значення k2. Оскільки це рівняння, єдиний спосіб зробити це - додати k2 на обох членах, а потім поміняти місцями коефіцієнт C. Дивитися:
х2 + 2kx + C = 0
х2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
х2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Після цієї процедури ми можемо перейти до попередньої техніки, перетворюючи тричленнийплощаІдеально у чудовий виріб та обчислення квадратних коренів на обох кінцівках.
х2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
√ [(x + k)2] = √ (k2 - Ç)
x + k = ± √ (k2 - Ç)
Знак ± з'являється щоразу, коли результат a рівняння є квадратним коренем, оскільки в цих випадках результатом квадратного кореня є a модуль, як показано в першому прикладі. Нарешті, залишилось лише зробити:
x = - k ± √ (k2 - Ç)
Отже, ці рівняння мають два результати справжній і різний, або немає реального результату, коли C> k2.
Наприклад, обчислити корені x2 + 6x + 8 = 0.
Рішення: Зверніть увагу, що 6 = 2 · 3x. Отже, k = 3 і, отже, k2 = 9. Отже, число, яке ми повинні додати в обох членах, дорівнює 9:
х2 + 6x + 8 = 0
х2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
х2 + 6x + 9 = 9 - 8
х2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x ’= 1-3 = - 2
x ’’ = - 1-3 = - 4
У цьому випадку коефіцієнт a ≠ 1
коли коефіцієнт , дає рівняння з другеступінь, відрізняється від 1, просто розділіть усе рівняння на числове значення коефіцієнта щоб потім застосувати один із двох попередніх методів.
Отже, у рівнянні 2x2 + 32x + 128 = 0, ми маємо унікальний корінь, рівний 8, оскільки:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
х2 + 16x + 64 = 0
І, у рівнянні 3x2 + 18x + 24 = 0, маємо корені - 2 і - 4, оскільки:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
х2 + 6x + 8 = 0
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
