THE арифметична прогресія (AP) є числова послідовність що ми використовуємо для опису поведінки певних явищ у математиці. У ПА, ріст або занепад завжди постійний, тобто від одного терміна до іншого, різниця завжди буде однаковою, і ця різниця відома як причина.
В результаті передбачувана поведінка прогресії, ви можете описати це з формули, відомої як загальний термін. З цієї ж причини також можна розрахувати суму доданків ПД, використовуючи конкретну формулу.
Читайте також: Геометрична прогресія - як розрахувати?
Що таке ПА?
Розуміння того, що PA - це послідовність термінів, в яких різниця між терміном і попереднім завжди постійна, щоб описати цей прогрес із формули, нам потрібно знайти початковий термін, або тобто перший термін прогресії та його причина, яка полягає в цій постійній різниці між терміни.
Взагалі кажучи, ПА пишеться так:
(The1, a2,3, a4,5, a6,7, a8)
Перший термін - a1 і, від цього, до додати причина r, давайте знайдемо умови наступника.
1 + r = a2
2 + r = a3
3 + r = a4
...
Отже, щоб записати арифметичну прогресію, нам потрібно знати, хто це перший термін і чому.
Приклад:
Давайте напишемо перші шість членів точки доступу, знаючи, що її перший член дорівнює 4, а його співвідношення дорівнює 2. знаючи1 = 4 і r = 2, ми робимо висновок, що цей прогрес починається з 4 і збільшується з 2 до 2. Тому ми можемо описати його терміни.
1 = 4
2 = 4+ 2 = 6
3 = 6 + 2 = 8
4 = 8 + 2 = 10
5= 10 + 2 = 12
6 = 12 + 2 =14
Цей АТ дорівнює (4,6,8,10,12,14…).
Загальний термін ПА
Опис PA за формулою полегшує нам пошук будь-якого з його термінів. Щоб знайти будь-який термін точки доступу, ми використовуємо таку формулу:
немає= a1 + r · (n-1) |
N → - позиція терміна;
1→ перший термін;
r → причина.
Приклад:
Знайти це загальний термін ПА (1,5,9,13,…) та 5, 10 та 23 термін.
1-й крок: знайти причину.
Щоб знайти коефіцієнт, просто обчисліть різницю між двома послідовними доданками: 5 - 1 = 4; тоді в цьому випадку r = 4.
2-й крок: знайти загальний термін.
Звідки ми знаємо, що1= 1 і r = 4, підставимо у формулу.
немає= a1 + r (n - 1)
немає= 1 + 4 (n - 1)
немає= 1 + 4n - 4
немає= 4n - 3 → загальний термін ПА
3-й крок: знаючи загальний доданок, обчислимо 5, 10 і 23 член.
5-й доданок → n = 5
немає= 4n - 3
5=4·5 – 3
5=20 – 3
5=17
10-й доданок → n = 10
немає= 4n - 3
10=4·10 – 3
10=40 – 3
10=37
23-й член → n = 23
немає= 4n - 3
23=4·23 – 3
23=92 – 3
23=89
Типи арифметичних прогресій
Існує три можливості для PA. Він може бути зростаючим, зменшувальним або постійним.
Вирощування
Як випливає з назви, арифметична прогресія збільшується, коли, із збільшенням термінів зростає і їх значення., тобто другий доданок більший за перший, третій більший за другий тощо.
1 2 3 4 < …. немає
Щоб це сталося, коефіцієнт повинен бути додатним, тобто PA збільшується, якщо r> 0.
Приклади:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
низхідний
Як випливає з назви, арифметична прогресія спадає, коли, із збільшенням термінів їх значення зменшується, тобто другий доданок менше першого, третій менше другого, і так далі.
1 >2 >3 >4 > …. >немає
Щоб це сталося, коефіцієнт повинен бути від’ємним, тобто PA збільшується, якщо r <0.
Приклади:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Постійний
Арифметична прогресія постійна, коли, із збільшенням термінів значення залишається незмінним., тобто перший доданок дорівнює другому, який дорівнює третьому тощо.
1 =2 =3 =4 = …. = aнемає
Щоб PA був постійним, коефіцієнт повинен бути рівним нулю, тобто r = 0.
Приклади:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Дивіться також: Добуток термінів PG - яка формула?
Властивості ПА
1-а властивість
Враховуючи будь-який термін ПА, середній арифметика між його наступником і попередником дорівнює цьому терміну.
Приклад:
Розглянемо прогресію (-1, 2, 5, 8, 11) і термін 8. Середнє значення між 11 і 5 дорівнює 8, тобто сума наступника з попередником числа в ПА завжди дорівнює цьому числу.
2-а властивість
Сума рівновіддалених доданків завжди рівна.
Приклад:
Сума термінів PA
Припустимо, ми хочемо додати шість термінів BP, показані вище: (16,13,10,7,4,1). Ми можемо просто додати їх умови - у такому випадку термінів мало, можливо - але якщо це так довший рядок, слід використовувати властивість. Ми знаємо, що сума рівновіддалених доданків завжди дорівнює, як ми бачили у властивості, тож, якщо ми виконаємо це додамо один раз і помножимо на половину суми доданків, отримаємо суму перших шести доданків ПАН.
Зверніть увагу, що у цьому прикладі ми обчислюємо суму першого та останнього, що дорівнює 17, помножене на половину суми доданків, тобто 17 по 3, що дорівнює 51.
Формула сума термінів ПА його розробив математик Гаус, який реалізував цю симетрію в арифметичних прогресіях. Формула записана таким чином:
sнемає → сума з n елементів
1 → перший термін
немає → останній термін
n → кількість термінів
Приклад:
Обчисліть суму непарних чисел від 1 до 2000.
Дозвіл:
Ми знаємо, що ця послідовність є ПА (1,3,5,…. 1997, 1999). Виконання суми було б великою роботою, тому формула досить зручна. Від 1 до 2000 половина чисел непарна, тому існує 1000 непарних чисел.
Дані:
n → 1000
1 → 1
немає → 1999
Також доступ: Сума кінцевих PG - як це зробити?
Інтерполяція арифметичних середніх
Знаючи два непослідовних члена арифметичної прогресії, можна знайти всі доданки, що потрапляють між цими двома числами, що ми знаємо як інтерполяція арифметичних засобів.
Приклад:
Давайте інтерполюємо 5 середніх арифметичних значень між 13 і 55. Це означає, що існує 5 чисел між 13 і 55, і вони утворюють прогресію.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Щоб знайти ці цифри, необхідно знайти причину. Ми знаємо перший термін (1 = 13), а також 7-й член (7= 55), але ми знаємо, що:
немає =1 + r · (n - 1)
Коли n = 7 → aнемає= 55. Ми також знаємо значення a1=13. Отже, підставляючи його у формулу, ми маємо:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6р
55-13 = 6р
42 = 6р
r = 42: 6
r = 7.
Знаючи причину, ми можемо знайти терміни між 13 і 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
розв’язані вправи
Питання 1 - (Enem 2012) - Гра в карти - це діяльність, яка стимулює міркування. Традиційною грою є пасьянс, в якому використовується 52 карти. Спочатку з картками формується сім колон. У першій колонці одна картка, у другій - дві карти, у третій - три карти, у четвертій - чотири карти тощо послідовно до сьомої колонки, яка має сім карт, і що складає купу, а це невикористані картки в стовпці.
Кількість карток, з яких складається купа:
А) 21.
Б) 24.
В) 26.
Г) 28.
Д) 31.
Дозвіл
Альтернатива Б.
Спочатку обчислимо загальну кількість карт, які були використані. Ми працюємо з AP, перший термін якого дорівнює 1, а коефіцієнт також дорівнює 1. Отже, обчислюючи суму 7 рядків, останній доданок дорівнює 7, а значення n також дорівнює 7.
Знаючи, що загальна кількість використаних карток становила 28, а 52 картки, купа формується за допомогою:
52 - 28 = 24 картки
Питання 2 - (Enem 2018) Мерія маленького містечка в інтер’єрі вирішує поставити стовпи для освітлення навколо вздовж прямої дороги, яка починається на центральній площі і закінчується фермою в цьому районі. сільський. Оскільки на площі вже є освітлення, перший стовп буде розміщений за 80 метрів від площі, другий за 100 метрів, третій за 120 метрів тощо. послідовно, завжди дотримуючись відстані 20 метрів між стовпами, поки останній стовп не буде розміщений на відстані 1380 метрів від площа.
Якщо місто може заплатити максимум 8 000,00 R $ за розміщену посаду, найвища сума, яку ви можете витратити на розміщення цих постів:
A) 512 000,00 BRL.
Б) 520 000,00 BRL.
В) 528 000,00 R $.
Г) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Дозвіл
Альтернатива C.
Ми знаємо, що стовпи будуть розміщуватись через кожні 20 метрів, тобто r = 20, і що перший термін цього PA становить 80. Крім того, ми знаємо, що останній термін - 1380, але ми не знаємо, скільки є термінів між 80 і 1380. Для обчислення цієї кількості доданків скористаємось загальною формулою терміна.
Дані: анемає = 1380;1=80; і r = 20.
немає= a1 + r · (n-1)
Буде розміщено 660 повідомлень. Якщо кожна з них буде коштувати максимум 8000 R $, найвища сума, яку можна витратити на розміщення цих постів, становить:
66· 8 000 = 528 000
Рауль Родрігес де Олівейра
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
