Трикутна матриця: типи, визначник, вправи

Матриця трикутна коли елементи над головною діагоналлю або елементи нижче основної діагоналі є нульовими. Існує дві можливі класифікації для цього типу матриці: перша - коли елементи над головною діагоналлю є нульовими, що встановлює нижню трикутну матрицю; друге - коли елементи, що знаходяться під головною діагоналлю, є нульовими, встановлюючи верхню трикутну матрицю.

Щоб обчислити визначник трикутної матриці за правилом Сарруса, просто виконайте основне діагональне множення, оскільки всі інші множення будуть дорівнювати нулю.

Читайте також: Масив - що це таке і існуючі типи

Трикутна матриця - це приватний випадок матриці.

Трикутні матричні типи

Щоб зрозуміти, що таке трикутна матриця, важливо пам’ятати, якою є головна діагональ квадратної матриці, тобто матриці, що має однакову кількість рядків і стовпців. Основною діагоналлю матриці є доданки a._ij, де i = j, тобто це умови, в яких номер рядка дорівнює номеру стовпця.

Приклад:

Терміни на головній діагоналі виділені червоним кольором.

Розуміючи, що таке квадратна матриця і яка її головна діагональ, давайте знатимемо, що таке трикутна матриця та її класифікації. Існує дві можливі класифікації трикутної матриці:

нижня трикутна матриця і верхня трикутна матриця.

• Нижня трикутна матриця: виникає, коли всі доданки над головною діагоналлю дорівнюють нулю, а доданки під основною діагоналлю дорівнюють дійсних чисел.

Чисельний приклад:

• Верхня трикутна матриця: відбувається, коли всі доданки, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю, а доданки над основною діагоналлю - дійсні числа.

Чисельний приклад:

діагональна матриця

Діагональною матрицею є a приватний випадок трикутної матриці. У ній єдиними ненульовими термінами є ті, що містяться в головній діагоналі. Усі члени, що знаходяться над або під основною діагоналлю, дорівнюють нулю.

Чисельні приклади діагональної матриці:

Визначник трикутної матриці

Дана трикутна матриця, при обчисленні визначника цієї матриці за Правління Саруса, ви можете бачити, що всі множення дорівнюють нулю, крім множення доданка основної діагоналі.

det (A) = a₁₁ · А₂₂· А₃₃ +₁₂ · А₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ · The₂₃ ·0 +₁₁ · А₂₃ · 0 +₁₂ · 0· А₃₃)

Зауважимо, що в усіх термінах, крім першого, нуль є одним із факторів, і все множення за нулем дорівнює нулю, отже:

det (A) = a₁₁ · А₂₂· А₃₃

Зверніть увагу, що це добуток між членами головної діагоналі.

Незалежно від кількості рядків і стовпців трикутної матриці, її визначник завжди буде дорівнює добутку доданків головної діагоналі.

Дивіться також: Визначник - ознака, застосована до квадратних матриць

Властивості трикутної матриці

Трикутна матриця має деякі специфічні властивості.

• 1-а властивість: визначник трикутної матриці дорівнює добутку доданків головної діагоналі.
• 2-а властивість: добуток між двома трикутними матрицями є трикутною матрицею.
• 3-я властивість: якщо один із доданків головної діагоналі трикутної матриці дорівнює нулю, то його визначник буде дорівнює нулю і, отже, він не буде зворотним.
• 4 властивість: обернена матриця трикутної матриці також є трикутною матрицею.
• 5-а властивість: сума двох верхніх трикутних матриць є верхньою трикутною матрицею; так само сума двох нижчих трикутних матриць є нижньою трикутною матрицею.

розв’язані вправи

1) Враховуючи матрицю A, значення визначника A має вигляд:

а) 2

б) 0

в) 9

г) 45

д) 25

Дозвіл

Альтернатива d.

Ця матриця нижня трикутна, тому її визначальним є множення доданків на головній діагоналі.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Судіть наступні твердження.

I → Кожна квадратна матриця трикутна.

II → Сума верхньої трикутної матриці з нижньою трикутною матрицею завжди є трикутною матрицею.

III → Кожна діагональна матриця тотожності є трикутною матрицею.

Правильний порядок:

а) V, V, V.

б) F, F, F.

в) F, V, F.

г) F, F, V.

д) V, V, F.

Дозвіл

Альтернатива d.

I → False, оскільки кожна трикутна матриця є квадратною, але не кожна квадратна матриця є трикутною.

II → False, оскільки сума між верхньою та нижньою трикутною матрицею не завжди призводить до трикутної матриці.

III → Правда, оскільки доданки, що відрізняються від діагоналі, дорівнюють нулю.

Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm