Матриця трикутна коли елементи над головною діагоналлю або елементи нижче основної діагоналі є нульовими. Існує дві можливі класифікації для цього типу матриці: перша - коли елементи над головною діагоналлю є нульовими, що встановлює нижню трикутну матрицю; друге - коли елементи, що знаходяться під головною діагоналлю, є нульовими, встановлюючи верхню трикутну матрицю.
Щоб обчислити визначник трикутної матриці за правилом Сарруса, просто виконайте основне діагональне множення, оскільки всі інші множення будуть дорівнювати нулю.
Читайте також: Масив - що це таке і існуючі типи
Трикутні матричні типи
Щоб зрозуміти, що таке трикутна матриця, важливо пам’ятати, якою є головна діагональ квадратної матриці, тобто матриці, що має однакову кількість рядків і стовпців. Основною діагоналлю матриці є доданки a.ij, де i = j, тобто це умови, в яких номер рядка дорівнює номеру стовпця.
Приклад:
Розуміючи, що таке квадратна матриця і яка її головна діагональ, давайте знатимемо, що таке трикутна матриця та її класифікації. Існує дві можливі класифікації трикутної матриці:
нижня трикутна матриця і верхня трикутна матриця.- Нижня трикутна матриця: виникає, коли всі доданки над головною діагоналлю дорівнюють нулю, а доданки під основною діагоналлю дорівнюють дійсних чисел.
Чисельний приклад:
- Верхня трикутна матриця: відбувається, коли всі доданки, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю, а доданки над основною діагоналлю - дійсні числа.
Чисельний приклад:
діагональна матриця
Діагональною матрицею є a приватний випадок трикутної матриці. У ній єдиними ненульовими термінами є ті, що містяться в головній діагоналі. Усі члени, що знаходяться над або під основною діагоналлю, дорівнюють нулю.
Чисельні приклади діагональної матриці:
Визначник трикутної матриці
Дана трикутна матриця, при обчисленні визначника цієї матриці за Правління Саруса, ви можете бачити, що всі множення дорівнюють нулю, крім множення доданка основної діагоналі.
det (A) = a11 · А22· А33 +12 · А23 · 0 +13 · 0 · 0 - (The13 · The23 ·0 +11 · А23 · 0 +12 · 0· А33)
Зауважимо, що в усіх термінах, крім першого, нуль є одним із факторів, і все множення за нулем дорівнює нулю, отже:
det (A) = a11 · А22· А33
Зверніть увагу, що це добуток між членами головної діагоналі.
Незалежно від кількості рядків і стовпців трикутної матриці, її визначник завжди буде дорівнює добутку доданків головної діагоналі.
Дивіться також: Визначник - ознака, застосована до квадратних матриць
Властивості трикутної матриці
Трикутна матриця має деякі специфічні властивості.
- 1-а властивість: визначник трикутної матриці дорівнює добутку доданків головної діагоналі.
- 2-а властивість: добуток між двома трикутними матрицями є трикутною матрицею.
- 3-я властивість: якщо один із доданків головної діагоналі трикутної матриці дорівнює нулю, то його визначник буде дорівнює нулю і, отже, він не буде зворотним.
- 4 властивість: обернена матриця трикутної матриці також є трикутною матрицею.
- 5-а властивість: сума двох верхніх трикутних матриць є верхньою трикутною матрицею; так само сума двох нижчих трикутних матриць є нижньою трикутною матрицею.
розв’язані вправи
1) Враховуючи матрицю A, значення визначника A має вигляд:
а) 2
б) 0
в) 9
г) 45
д) 25
Дозвіл
Альтернатива d.
Ця матриця нижня трикутна, тому її визначальним є множення доданків на головній діагоналі.
det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45
2) Судіть наступні твердження.
I → Кожна квадратна матриця трикутна.
II → Сума верхньої трикутної матриці з нижньою трикутною матрицею завжди є трикутною матрицею.
III → Кожна діагональна матриця тотожності є трикутною матрицею.
Правильний порядок:
а) V, V, V.
б) F, F, F.
в) F, V, F.
г) F, F, V.
д) V, V, F.
Дозвіл
Альтернатива d.
I → False, оскільки кожна трикутна матриця є квадратною, але не кожна квадратна матриця є трикутною.
II → False, оскільки сума між верхньою та нижньою трикутною матрицею не завжди призводить до трикутної матриці.
III → Правда, оскільки доданки, що відрізняються від діагоналі, дорівнюють нулю.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm