Множення матриць: як обчислити, приклади

THE ммноження матриць здійснюється за допомогою алгоритму, який вимагає великої уваги. Щоб існував добуток між матрицею А і матрицею В, необхідно, щоб кількість стовпці дає спочатку штаб-квартира, на випадок A, дорівнює кількості ліній дає Понеділок штаб, у випадку Б.

З множення між матрицями можна зрозуміти, що таке матриця ідентичності, що таке нейтральний елемент множення матриці, і що таке обернена матриця матриці M, яка є матрицею M^-1 чий добуток М на М^-1 дорівнює матриці ідентичності. Також можна помножити матрицю на дійсне число - у цьому випадку ми множимо кожен із доданків штаб за номером.

Читайте також: Що таке трикутна матриця?

умова існування

Множення між матрицями - це процес, який вимагає великої уваги.

Щоб помножити дві матриці, спочатку необхідно перевірити умову існування. Щоб продукт існував, кількість стовпців у першій матриці має дорівнювати кількості рядків у другій матриці. Крім того, результатом множення є матриця, яка має таку ж кількість рядків, як перша матриця, і таку ж кількість стовпців, як друга матриця.

Наприклад, добуток AB між матрицями A_3x2 та Б_2x5 існує, оскільки кількість стовпців у A (2 стовпці) дорівнює кількості рядків у B (2 рядки), а результатом є матриця AB_3x5. Вже добуток між матрицями C._3x5 і матриця D_2x5 не існує, оскільки C має 5 стовпців, а D - 3 рядки.

Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)

Як обчислити добуток між двома матрицями?

Щоб виконати множення матриць, необхідно виконати кілька кроків. Ми зробимо приклад множення алгебраїчної матриці A_2x3 за матрицею B_3x2

Ми знаємо, що продукт існує, оскільки матриця A має 3 стовпці, а матриця B - 3 рядки. С будемо називати результатом множення A · B. Крім того, ми також знаємо, що результатом є матриця C._2x2, оскільки матриця A має 2 рядки, а матриця B - 2 стовпці.

Для обчислення добутку матриці A_2x3 і матриця B_3х2, давайте виконаємо кілька кроків.

Спочатку ми знайдемо кожен із членів матриці C_2x2:

Щоб знайти умови, давайте завжди співвідносити рядки матриці A зі стовпцями матриці B:

ç₁₁ → 1-й рядок A і 1-а колона Б
ç₁₂ → 1-й рядок A і 2-а колона Б
ç₂₁ → 2-й рядок A і 1-а колона Б
ç₂₂ → 2-й рядок A і 2-а колона Б

Кожен із доданків обчислюємо множенням доданків у рядку А та доданків у стовпці В. Тепер ми повинні додати ці продукти, починаючи з ç_11:

1-й рядок A
1-а колона Б

ç₁₁ = ₁₁· Б₁₁ + ₁₂· Б₂₁+ ₁₃· Б₃₁

обчислювальний ç₁₂:

1-й рядок A
2-а колона Б

ç₁₂ = ₁₁· Б₁₂ + ₁₂· Б₂₂+₁₃· Б₃₂

обчислювальний ç₂₁:

2-й рядок A
1-а колона Б

ç₂₁ = ₂₁· Б₁₁ + ₂₂· Б₂₁+₂₃· Б₃₁

обчислення терміну ç₂₂:

2-й рядок A
2-а колона Б

ç₂₂ = ₂₁· Б₁₂ + ₂₂· Б₂₂+₂₃· Б₃₂

Таким чином, матриця C утворена доданками:

Приклад:

Обчислимо множення між матрицями A і B.

Ми знаємо, що в A_2x2 та Б_2x3, кількість стовпців у першому дорівнює кількості рядків у другому, отже продукт існує. Отже, ми зробимо C = A · B, і ми знаємо, що C_2x3.

Множачись, ми маємо:

Дивіться також: Що таке транспонована матриця?

матриця ідентичності

При множенні між матрицями є деякі особливі випадки, такі як матриця ідентичності, яка є нейтральним елементом множення між матрицями.. Матриця ідентичності - це квадратна матриця, тобто кількість рядків завжди дорівнює кількості стовпців. Крім того, лише члени діагоналі в ній дорівнюють 1, а всі інші члени дорівнюють нулю. Коли ми множимо матрицю M на тотожну матрицю I_немає, Ми мусимо:

М · Я_немає = М

Матриці ідентичності від порядку 2 до порядку 5

Приклад:

Що таке обернена матриця?

Дано матрицю M, ми знаємо її як обернену матрицю M. матриця M^-1чий твір М · М^-1 дорівнює à матриця ідентичності I_немає. Щоб матриця мала обернене значення, вона повинна бути квадратною та її детермінанта має відрізнятися від 0. Давайте розглянемо приклади матриць, які є оберненими:

Обчислюючи добуток A · B, ми маємо:

Зверніть увагу, що добуток між A та B, породженою матрицею I₂. Коли це трапляється, ми говоримо, що B є оберненою матрицею A. Щоб дізнатися більше про цей тип матриці, прочитайте: Обернена матриця.

Множення матриці на дійсне число

На відміну від множення між матрицями, існує також множення матриць на одиницю дійсне число, що є набагато простішою операцією для пошуку рішення.

Дано матрицю M, помноживши матрицю на дійсне число k дорівнює матриці kМ. Щоб знайти цю матрицю kМ, досить помножте всі доданки в матриці на константу k.

Приклад:

якщо k = 5 і, враховуючи матрицю M нижче, знайдіть матрицю 5M.

Множення:

розв’язані вправи

Питання 1 - (Unitau) Дані матриці A і B,

значення елемента c₁₁ матриці C = AB дорівнює:

А) 10.

Б) 28.

В) 38.

Г) 18.

Д) 8.

Дозвіл

Альтернатива А.

Як ми хочемо термін c₁₁, помножимо доданки в першому рядку та A на доданки в першому стовпці B.

обчислення c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Питання 2 - (Enem 2012) Студент реєстрував двомісячні оцінки деяких своїх предметів у таблиці. Він зазначив, що числові записи в таблиці утворюють матрицю 4 × 4, і що він може розрахувати середні річні показники для цих дисциплін, використовуючи добуток матриць. Усі тести мали однакову вагу, а таблиця, яку він отримав, наведена нижче.

Щоб отримати ці середні значення, він помножив матрицю, отриману з таблиці, на матрицю:

Дозвіл

Альтернатива Е.

Середнє значення - це не що інше, як сума елементів, поділена на кількість елементів. Зверніть увагу, що на кожен рядок припадає 4 примітки, тому середнє значення буде сумою цих приміток, поділеною на 4. Ділити на 4 - те саме, що множити на дріб ¼. Крім того, матриця оцінок є матрицею 4х4, тому нам потрібно помножити на матрицю 4х1, тобто вона має 4 рядки та 1 стовпець, щоб знайти матрицю, яка має середнє значення оцінок.

Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики