Ö iki vektör arasındaki nokta çarpımı bu vektörlerin büyüklüğünü, yani uzunluklarını ve aralarındaki açıyı ilişkilendiren gerçek bir sayıdır. Bunu hesaplamak için uzunluklarını ve oluşturdukları açıyı bilmek gerekir.
Düzlemi temel olarak kullanan bir vektör, bir konumu, yoğunluğu, yönü ve yönü belirtir. Bu nedenle, bir cisme uygulanan bir kuvvetin temsilcisi olarak Mekanik (Fizik) çalışmalarında kullanılır.
Vektörün genel temsili, bir noktada biten bir oktur. Bu noktanın koordinatlarına O (0,0) noktasından başlayan vektörün koordinatları denir. Onu temsil etmek için v = (a, b) yazarız. Böylece, v = (1,2) vektörü aşağıdaki gibi çizilir:
Orijinden başlayan vektör örneği
Bu vektörün uzunluğunu hesaplamak için, oluşturduğu dik üçgeni ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi x ekseni (veya y ekseni) üzerindeki izdüşümünü göz önünde bulundurun:
v vektörünün uzunluğu
Bir vektörün uzunluğuna v denir. v vektör normu veya vektör modülü v ve |v| ile temsil edilir. v = (a, b) vektörünün normunun tam olarak yukarıdaki şekilde temsil edilen üçgenin hipotenüsünün ölçüsü olduğuna dikkat edin. Bu ölçüyü hesaplamak için Pisagor Teoremini kullanıyoruz:
|v|2 =2 + b2
|v| = √(bir2 + b2 )
İki vektör nokta çarpımı
İki vektör u ve v verildiğinde, aralarındaki iç çarpım şu şekilde temsil edilir: ve şu şekilde tanımlanır:
= |u||v|·cosθ
Bu, iki vektör arasındaki bir tür çarpmadır, ancak bu iki vektörün oluşturduğu açıyı içerdiğinden ortak bir çarpma olmadığı için çarpım olarak adlandırılmaz.
iki vektör arasındaki açı
Yukarıdaki tanımdan ortaya çıkan ilk sonuç, iki vektör arasındaki açıdır. “Nokta çarpım”, “u vektör normu” ve “v vektör normu” reel sayıları ile u ve v vektörleri arasındaki açıyı hesaplamak mümkündür. Bunu yapmak için, sadece hesaplamaları yapın:
= |u||v|·cosθ
= çünkü
|u||v|
Bu nedenle, iç çarpımı u ve v vektörlerinin normlarına bölerek, bu iki vektör arasındaki kosinüs ve dolayısıyla aralarındaki açıyı gösteren gerçek sayıyı buluruz.
İki vektör arasındaki açı düzse, cosθ'nin sıfıra eşit olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, yukarıdaki ürün aşağıdaki sonuca sahip olacaktır:
= 0
Buradan, iki u ve v vektörü verildiğinde, bunların ortogonal olacağı sonucuna varılabilir. = 0.
Vektör koordinatlarından hesaplanan iç çarpım
u = (a, b) ve v = (c, d) vektörleri göz önüne alındığında, u ve v arasındaki nokta çarpımı şu şekilde verilir:
= = a·c + b·d
Dahili ürün özellikleri
u, v ve w vektörleri ve α gerçek sayısı göz önüne alındığında, şunu not edin:
ben) =
Bu, vektörlerin iç çarpımının “değişmeli” olduğu anlamına gelir.
ii) = +
Bu özellik, çarpmanın toplamaya göre dağılımı ile karşılaştırılabilir.
iii) = = α
u ve v arasındaki iç çarpımı α gerçek sayısıyla çarpıp hesaplamak, αv ve u arasındaki veya v ve αu arasındaki iç çarpımı hesaplamakla aynıdır.
iv)
v'nin v ile iç çarpımı yalnızca v sıfır vektör ise sıfırdır.
v)
v'nin v ile iç çarpımı her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olacaktır.
Luiz Paulo Moreira'nın fotoğrafı.
Matematik mezunu
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm