Mevcut tüm sayılar, doğal sayılarda olduğu gibi, yaratılış anında insan ihtiyaçlarına göre yaratılmıştır. ile ilgili sorunları çözmek için kurulan "stokları" ve irrasyonel sayıları saymak ve kontrol etmek için oluşturuldu. kökler. Hakkındaki bilgiyi başlatan tam olarak kökleri içeren problemlerdi. Karışık sayılar.
ikinci dereceden denklem x2 + 4x + 5 = 0'ın gerçek kökü yoktur. Bu, gerçek sayılar kümesi içinde, bu denklemin ilk terimine ikincisine eşit olan x değerlerini bulmanın imkansız olduğu anlamına gelir. Bu fenomeni Bhaskara'nın formülünün başlangıcından itibaren gözlemliyoruz:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Δ için negatif bir değer bulunduğunda, √Δ (deltanın kökü) hesaplanmasını gerektirdiğinden Bhaskara'nın formülüyle ilerlemek imkansız hale gelir. Şimdi, √– 4'ün hesaplanamayacağını biliyoruz çünkü kendisiyle çarpıldığında – 4 verecek gerçek bir sayı yok.
Bu ihtiyaçları karşılamak için karmaşık sayılar oluşturuldu. Yaratılışından itibaren √– 4 şu şekilde geliştirilebilir:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √(– 1), yeni bir sayı türü olarak anlaşılır. Tüm bu sayıların kümesi karmaşık sayılar kümesi olarak bilinir ve bu yeni kümenin her bir temsilcisi şu şekilde tanımlanır: A bir karmaşık sayı olsun.
bir = + Bben, nerede ve B reel sayılardır ve i = √(– 1)
Bu tanımda, Olarak bilinir A'nın gerçek kısmı ve B Olarak bilinir A'nın hayali kısmı
Karmaşık sayıların özellikleri
Gerçek sayılar, bütünlükleri ve geometrik olarak bir doğruyu temsil eder. Karmaşık sayılar sırayla bütün bir düzlemi temsil eder. Karmaşık sayıları temsil etmek için kullanılan Kartezyen düzlemi, Argand-Gauss düzlemi olarak bilinir.
Her karmaşık sayı, Argand-Gauss düzleminde (a, b) koordinatlarının bir noktası olarak temsil edilebilir. Bir karmaşık sayıyı temsil eden noktadan (0,0) noktasına olan uzaklığa karmaşık sayının modülü denir., tanımlanır:
A = a + bi bir karmaşık sayı olsun, modülü |A| = bir2 + b2
Karmaşık sayıların ayrıca eşlenik adı verilen bir ters elemanı vardır. Şu şekilde tanımlanır:
A = a + bi bir karmaşık sayı olsun,
Ā = a – bi bu sayının eşleniğidir.
Mülk 1: Bir karmaşık sayının ve onun eşleniğinin çarpımı, karmaşık sayının reel kısmı ile sanal kısmının karelerinin toplamına eşittir. Matematiksel olarak:
AĀ = bir2 + b2
Örnek: A = 2 + 5i'nin eşleniğinin ürünü nedir?
Sadece hesaplamayı yapın: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. A'nın konjugatını yazmayı seçersek ve bundan sonra AĀ çarpmasını yaparsak, şunu elde ederiz:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 – 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Yani önerilen özelliği kullanarak uzun bir hesaplamanın yanı sıra bu hesaplamalar sırasındaki hataların önüne geçmek mümkündür.
Özellik 2: A karmaşık sayısı eşleniğine eşitse, A gerçek sayıdır.
A = a + bi olsun. A = Ā ise, o zaman:
a + bi = bir - bi
bi = - bi
b = - b
Bu nedenle, b = 0
Bu nedenle, eşleniğine eşit olan her karmaşık sayının aynı zamanda bir reel sayı olması zorunludur.
Özellik 3: İki karmaşık sayının toplamının eşleniği, bu sayıların eşleniğinin toplamına eşittir., yani:
_____ _ _
A + B = A + B
Örnek: 7 + 9i ve 2 + 4i toplamının eşleniği nedir?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
Önce toplayabilir ve ardından sonucun eşlenikini hesaplayabilir veya önce eşlenikleri yapabilir ve ardından sonuçları daha sonra ekleyebilirsiniz.
Mülk 4: İki karmaşık sayının çarpımının eşleniği, bunların eşleniklerinin çarpımına eşittir, yani:
__ _ _
AB = A·B
Örnek: A = 7i + 10 ve B = 4 + 3i'nin eşleniklerinin ürünü nedir?
(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
Alıştırma ihtiyacına bağlı olarak, önce çarpma ve daha sonra eşlenik hesaplamak veya çarpma yapmadan önce eşlenikleri görüntülemek mümkündür.
Mülk 5: A karmaşık sayısının ve onun eşleniğinin çarpımı, A modülünün karesine eşittir, yani:
AĀ = |A|2
Örnek: A = 2 + 6i, sonra AĀ = |A|2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Eşlenik bulmanın ve çarpmanın toplama üzerinden dağıtma özelliği (küçük duş başlığı olarak bilinir) aracılığıyla bir çarpma gerçekleştirmenin gerekli olmadığını unutmayın.
Mülk 6: Karmaşık bir sayının modülü, eşleniğinin modülüne eşittir. Diğer bir deyişle:
|A| = |Ā|
Örnek: A = 3 + 4i karmaşık sayısının eşleniğinin modülünü bulun.
Modüller aynı olduğu için eşleniği bulmanın gerekli olmadığını unutmayın.
|A| = √(bir2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
|Ā| hesaplansaydı, tek değişiklik bir B pozitif bir sonucu olan negatif kare. Böylece, sonuç yine de 25'in kökü olacaktır.
Mülk 7: A ve B karmaşık sayılarsa, A ve B'nin modül çarpımı, A ve B'nin çarpımının modülüne eşittir., yani:
|AB| = |A||B|
Örnek: A = 6 + 8i ve B = 4 + 3i olsun, |AB| ne kadardır?
Modülü hesaplamadan önce karmaşık sayıları çarpmanın gerekli olmadığını unutmayın. Her karmaşık sayının modülünü ayrı ayrı hesaplamak ve ardından sonuçları çarpmak mümkündür.
|A| = √(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
|B| = √(42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
|AB| = |A||B| = 10·5 = 50
Luiz Paulo Moreira'nın fotoğrafı.
Matematik mezunu
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
