çokyüzlü (latinceden poli — birçok — ve hedron - yüz) rakamlar3 boyutlu çokyüzlü açıların hepsinin eş olduğu düzgün çokgenlerin birleşiminden oluşur. Bu çokgenlerin birleşimi, çokyüzlüleri oluşturan öğeleri oluşturur, bunlar: köşeler, kenarlar ve yüzler. Ancak, her üç boyutlu şekil bir çokyüzlü değildir, buna bir örnek olarak adlandırılan eğri yüzleri olan şekillerdir. yuvarlak gövdeler.
Çokyüzlülerin öğelerini ilişkilendiren matematiksel bir formül vardır. Euler'in ilişkisi. Ek olarak, çokyüzlüler iki gruba ayrılır: sözde çokyüzlüler dışbükey ve dışbükey değil. Bazı çokyüzlüler özel ilgiyi hak ediyor, bunlara Platon'un çokyüzlü: tetrahedron, altı yüzlü, oktahedron, on iki yüzlü ve ikosahedron.
Siz de okuyun: Düz ve mekansal figürler arasındaki farklar
dışbükey çokyüzlü
Bir polihedron tarafından oluşturulduğunda dışbükey olacaktır. çokgenler dışbükey, böylece aşağıdaki koşullar kabul edilir:
- çokgenlerden ikisi Asla eş düzlemlidirler, yani aynı düzleme ait değillerdir.
- Bu çokgenlerden birinin her bir kenarı sadece iki çokgene aittir.
- Bu çokgenlerden herhangi birini içeren düzlem, diğer çokgenleri aynı yarı uzayda bırakır.
Siz de okuyun:Bir dışbükey çokgenin iç ve dış açılarının toplamı
Bir dışbükey çokyüzlü öğeleri
Bu dışbükey çokyüzlü düşünün:
Sen dörtgenler Şekilde denir yüzler çokyüzlü.
Sen beşgenler olarak adlandırılan polihedronun yüzleri ve tabanıdır. beşgen tabanlı çokyüzlü.
Yüzlerin her birini oluşturan bölümlere denir. kenarlar çokyüzlü.
Kenarların birleştiği noktalara denir köşeler.
JC çizgi segmenti çağrılacak diyagonal çokyüzlü, şu şekilde gösterilir:
JC köşegenlerden biri, anlıyoruz diyagonal olduğu gibi çokyüzlü aynı yüze ait olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçası.
Ayrıca, kenarlar arasında oluşturulan ve şu şekilde gösterilen çokyüzlü açıya sahibiz:
Çokyüzlü açıya denir üç yüzlü Ne zaman üç kenarlar bir tepe noktasından kaynaklanır. Aynı şekilde denir dört yüzlü durum dört kenarlar bir tepe noktasından kaynaklanır, vb.
Şu andan itibaren bazı notasyonlar oluşturacağız, bunlar:
Daha fazlasını bilin: Geometrik katıların planlanması
Dışbükey Çokyüzlülerin Özellikleri
Mülk 1
Tüm yüzlerin kenarlarının toplamı, çokyüzlü kenar sayısının iki katına eşittir.
Misal
Bir polihedron 6 kare yüze sahiptir. Kenar sayısını belirleyelim.
Özelliğe göre, bir yüzün kenar sayısını yüz sayısıyla çarpmanız yeterlidir ve bu, kenar sayısının iki katına eşittir. Böylece:
Mülk 2
Tüm yüzlerin köşelerinin toplamı, tüm yüzlerin kenarlarının toplamına eşittir, bu da kenar sayısının iki katına eşittir.
Misal
5 tetrahedral açı ve 4 hexahedral açıya sahip bir çokyüzlü. Kenar sayısını belirleyelim.
Önceki örneğe benzer şekilde, ikinci özellik, tüm yüzlerin kenarlarının toplamının, kenar sayısının iki katına eşit olduğunu söyler. Kenar sayısı 5'e 4 ve 4'e 6'nın çarpımı ile verilir, çünkü bunlar 5 tetrahedral ve 4 hexahedral açıdır. Böylece:
İçbükey (dışbükey olmayan) çokyüzlü
Bir çokyüzlü, farklı yüzlerde ve düz yüzeyde iki nokta aldığımızda dışbükey veya içbükey değildir. r Bu noktaları içeren her şey çokyüzlüde bulunmaz.
Düz çizginin (mavi renkli) çokyüzlüde tamamlanmadığına dikkat edin, bu nedenle çokyüzlü (pembe) içbükeydir veya dışbükey değildir.
düzenli çokyüzlü
Bir polihedron ne zaman düzenlidir deriz yüzleriniz düzenli çokgenler birbirine eşit ve çokyüzlü açıları aynı.
Bazı örneklere bakın:
Tüm yüzlerinizin düzgün çokgenler olduğuna dikkat edin. Yüzleri karelerden oluşur ve kenarları eşittir, yani ölçüleri aynıdır.
okuAyrıca: Düzgün ve dışbükey çokgenler nelerdir?
Euler'in ilişkisi
Ayrıca şöyle bilinir Euler teoremi, sonuç Leonhard Euler (1707 - 1783) tarafından kanıtlandı ve şunu garanti ediyor: tüm kapalı dışbükey çokyüzlü aşağıdaki ilişki geçerlidir:
Platon'un Çokyüzlü
Aşağıdaki koşulları sağlayan herhangi bir çokyüzlüye Platon çokyüzlü denir:
Euler bağıntısı geçerlidir
Tüm yüzlerin aynı sayıda kenarı vardır
Tüm çokyüzlü açılar aynı sayıda kenara sahiptir
Yalnızca beş düzenli ve dışbükey çokyüzlü veya Platon'un çokyüzlü olduğu kanıtlanmıştır, bunlar:
düzenli tetrahedron
tetrahedron var 4 üçgen yüz uyumlu ve 4 üçgen açı uyumlu.
düzenli altı yüzlü
altı yüzlü 6 kare yüz uyumlu ve 8 üçgen açı uyumlu.
normal oktahedron
oktahedron var 8 üçgen yüz uyumlu ve 6 tetrahedral açı uyumlu.
düzenli oniki yüzlü
on iki yüzlü 12 beşgen yüz uyumlu ve 20 açıüç yüzlü uyumlu.
düzenli ikosahedron
ikosahedron vardır 20 üçgen yüz uyumlu ve 12 beş yüzlü açı uyumlu.
çözülmüş alıştırmalar
1) (Düşman) 20'si altı yüzlü, geri kalanı beşgen olan 32 yüzlü dışbükey polihedron şeklinde bir mücevher kesildi. Bu mücevher, doğum gününü kutlayan, sayısı bu çokyüzlülüğün köşe sayısı kadar olan bir yaşı tamamlayan bir bayana hediye olacak. Bu bayan tamamlıyor:
a) 90 yıl
b) 72 yaşında
c) 60 yaşında
d) 56 yaşında
e) 52 yaşında
Çözüm:
verir mülk 1 dışbükey çokyüzlüler için şunu biliyoruz:
Şimdi nasıl kenarların sayısını biliyoruz bu yüz sayısı, Euler bağıntısını kullanabiliriz.
Tamamladığınız yaş köşe sayısına eşit olduğuna göre bu 60 yıldır. Alternatif c.
2) (PUC-SP) Köşe sayısı yüz sayısının beşte üçü olan üçgen yüzlü bir dışbükey çokyüzlü kaç kenarlıdır?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Çözüm:
Bir dışbükey çokyüzlülüğün özelliklerinden ve elimizdeki alıştırma ifadesinden:
Bu değerleri Euler bağıntısında değiştirerek aşağıdakilere sahibiz:
Önceki denklemi organize etmek ve denklemi F'de çözmek, şu şekildedir:
Kenar denkleminde bulunan yüz sayısının değerini değiştirerek şunu elde ederiz:
alternatif b
Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni
