Kombinatoryal analiz: kavramlar, formüller, örnekler

bu kombinatoryal analiz matematikte sayma kurallarıyla ilişkili bir çalışma alanıdır. 18. yüzyılın başlarında, zar ve kart içeren oyunların incelenmesi, sayma teorilerinin büyük bir gelişme göstermesine neden oldu.

kombinatorik çalışmaları giderek daha doğru sayımların gerçekleştirilmesini sağlar.Saymanın temel prensibi (PFC), faktöriyel ve gruplama türleri, kombinatoryal analizde incelenen kavramların örnekleridir; daha büyük hassas yardımcı olur Hayırgibi matematiğin diğer alanlarının gelişimi olasılık ve Ö Newton'un iki terimlisi.

sen de oku: düzenleme veya çkombinasyon?

Kombinatoryal analiz ne içindir?

Kombinatoryal analiz, sayma süreci ile ilişkilidir, yani, bu matematik alanının incelenmesi, gerçekleştirmemize yardımcı olan araçlar geliştirmemize izin verir. daha verimli sayar. Tipik bir sayma problemine bakalım, bakınız:

örnek 1

R karayolları ile birbirine bağlanan A, B ve C şehirlerini ele alalım.₁, R₂, R₃, R₄ ve R₅. A şehrinden C şehrine B şehri üzerinden kaç farklı yoldan gidilebileceğini bulunuz.

instagram story viewer

A şehrinden ayrılıp B şehrine gitmemiz gerektiğini ve ancak o zaman C şehrine seyahat edebileceğimizi unutmayın. olasılıklar Otoyolları takip ederek etkinliği gerçekleştirmek.

1. yol: $₁ → $₃

2. yol: $₁ → $₄

3. yol: $₁ → $₅

4. yol: $₂ → $₃

5. yol: $₂ → $₄

6. yol: $₂ → $₅

Yani A şehrinden C şehrine B şehri üzerinden gitmek için altı farklı yolumuz var. Ancak, önerilen sorunun nispeten basit olduğunu ve yapılan analizin biraz zahmetli olduğunu unutmayın. Bu nedenle, bundan böyle, sorunları çok daha az çalışmayla çözmeyi mümkün kılan daha karmaşık araçlar üzerinde çalışacağız.

Saymanın temel ilkesi (PFC)

n bağımsız ve ardışık adımda gerçekleştirilebilen bir E olayı düşünün. Şimdi, ilk adımı gerçekleştirme olasılıklarının sayısının P'ye eşit olduğunu düşünün.₁, ayrıca ikinci aşamayı gerçekleştirme olasılıklarının sayısının P olduğunu hayal edin.₂, ve böylece, P olan son aşamaya ulaşana kadar_Hayır gerçekleştirilebilecek olanaklardır.

Saymanın Temel İlkesi (PFC), toplam olasılıklar E olayının tutulması şu şekilde verilir:

P₁ ·P₂ · … · P_Hayır

Böylece toplam, E olayını oluşturan adımların her birinin olasılıklarının çarpımı ile verilir. E olayını tutmak için toplam olasılıkları belirlemek için, aşamaların her biri için toplam olasılıkları bilmek gerektiğine dikkat edin.

Örnek 2

Saymanın temel ilkesini kullanarak örnek 1'i yeniden yapalım.

Örnek 1'deki resmi düşünün.

Etkinliğin iki aşamada yapılabileceğini unutmayın, birincisi A şehrinden B şehrine, ikincisi B şehrinden C şehrine gidiyor. İlk adımı gerçekleştirmek için iki olasılığımız var (yollar R₁ ve R₂) ve ikinci aşamayı gerçekleştirmek için üç seçeneğimiz var (R₃, R₄ ve R₅).

1. adım → iki olasılık

2. aşama → üç olasılık

Saymanın temel ilkesine göre, çarpmak her adımın toplam olasılıkları.

2 · 3

Bu nedenle, A şehrinden C şehrine B şehri üzerinden gitmek için toplam altı seçeneğimiz var.

Örnek 3

Üç Olimpiyat madalyası bir yarışmada kaç farklı şekilde dağıtılabilir? dağ bisikleti beş yarışmacıyla mı?

Madalya dağıtımını organize etmek üç aşamada gerçekleştirilebilecek bir etkinliktir. İlk adım, altın madalyayı kimin alacağına dair toplam olasılıkları analiz etmektir, yani, beş olasılıklar.

İkinci adım, gümüş madalyayı kimin alacağının olasılıklarını analiz etmektir, yani, dört, çünkü birincilik bu seçeneğe girmiyor. Üçüncü adım, bronz madalyayı kimin alacağına dair toplam olasılıkları analiz etmektir, yani, üç, çünkü ilk ikisi çoktan seçilmiştir.

1. adım → beş olasılık

2. aşama → dört olasılık

3. aşama → üç olasılık

Yani, saymanın temel ilkesine göre, elimizde:

5 · 4 · 3

60 olasılık

Ayrıca bakınız: Katkı sayma ilkesi - bir veya daha fazla kümenin birleşimi

faktöriyel

Ö faktöriyel bir yoludur bir doğal sayıyı ayrıştırmak. Bir sayının faktöriyelini hesaplamak için, onu 1'e kadar olan tüm öncülleriyle çarpmanız yeterlidir. Faktöriyel, ünlem işaretiyle temsil edilir - “!”.

Bazı sayıların faktöriyelinin nasıl hesaplanacağına ilişkin bazı örneklere bakın.

) 2! (bkz: iki faktöriyel)

Hesaplama için, faktöriyele eşlik eden sayıyı, 1'e kadar olan tüm öncülleriyle şu şekilde çarpmanız yeterlidir:

2! = 2 ·1 = 2

B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24

ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

d) 1! = 1

Biçimsel olarak faktöriyelini aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Bir doğal sayı n > 2 düşünün. n'nin faktöriyeli n ile gösterilir! ve n'nin tüm pozitif tamsayı öncülleriyle çarpılmasıyla verilir.

Hayır! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1

Aşağıdaki faktöriyellere dikkat edin:

4! ve 5!

Şimdi her ikisinin de gelişimini gerçekleştirin:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 ·1

5 geliştirilmesinde unutmayın! 4'ün gelişimi görünüyor!. Yani 5 yazabiliriz! Böylece:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

5! = 5 · 4!

Örnek 4

Faktöriyel saniyeyi hesaplayınuluma:

Bakın 15! 13'e kadar geliştirildi!. Ayrıca, kesrin payında elemanlar çarpılır, böylece 13!'ü "kesebiliriz", sonuçta sadece 15 · 14 elde edilir.

Gözlem:0! = 1

Gruplama Türleri

Bazı sayma problemleri daha karmaşıktır ve yeni araçlarla daha kolay çözülür. Bu araçlara gruplama denir çünkü elemanları farklı şekillerde gruplayarak sayma işlemini kolaylaştırırlar. Bu gruplamalar şunlardır: basit düzenleme, permütasyon ve basit kombinasyon.

basit düzenleme

n farklı elemanı olan bir küme düşünün. hadi diyelim aranjman n'den p'den p'ye alınan elemanlar, p tarafından sıralanan herhangi bir dizi ve elemanlar arasından seçilen farklı elemanlar.

Böylece, p elemanlarının oluşturduğu alt kümelerin sayısı, p'den p'ye alınan n elemanın düzeni olacaktır. Düzenleme sayısını hesaplamamızı sağlayan formül şu şekilde verilir:

Örnek 5

A'nın değerini hesapla_4,2 + Bir_5,2.

İfadenin değerini hesaplamak için dizilerin her birini belirleyelim ve ardından o değerleri birlikte toplayalım. Her dizinin değerini belirlemek için formüldeki değerleri yerine koymalıyız.

Formülde n = 4 ve p = 2'nin her ikisinin de ikame edildiğine dikkat edin. Şimdi, ikişer ikişer alınan beş elemanlı dizinin değerini hesaplamalıyız.

Öyleyse, yapmalıyız:

bu_4,2 + Bir_5,2

12 + 20

Örnek 6

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 sayıları kullanılarak dört basamaklı kaç farklı doğal sayı oluşturulabilir?

Bu problemde, 2435 ≠ 4235'ten beri basit düzenlemeyi kullanabiliriz. Bazı durumlarda, öğelerin sırasının onları ayırt etmediğini ve bu nedenle düzenlemeyi kullanamayacağımızı göreceğiz.

Oluşturulabilecek sayıların toplamını belirlemek istediğimiz için, elemanların toplamının eşit olduğuna dikkat edin. sekiz, ve biz onları dörde dörde gruplamak istiyoruz, yani:

basit permütasyon

n elemanlı bir küme düşünün. hadi diyelim basit permütasyon n eleman n'den n'ye alınan n elemanın her düzenlemesi. Bu yüzden şunları yapmalıyız:

Kavramlar arasında bir karışıklık olmaması için, n elemanın basit permütasyonunu P ile gösterelim._Hayır. Bu yüzden şunları yapmalıyız:

P_Hayır = n!

Örnek 7

P'yi hesapla₇ ve P₃.

Bu permütasyonları hesaplamak için formüldeki değerleri yerine koymalıyız. Bak:

P₇ = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

P₃ = 3 · 2 · 1

P₃ = 6

Örnek 8

Brezilya kelimesinde kaç anagram olabileceğini belirleyin.

Kelimenin harflerinin tüm olası yer değiştirmelerini anagram olarak anlıyoruz, örneğin "Lisarb" bir anagram kelime brezilya. Anagram sayısını belirlemek için, kelimedeki harflerin permütasyonunu hesaplamalıyız, bu yüzden şunları yapmalıyız:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Bu nedenle Brezilya kelimesinin 720 anagramı vardır.

Ayrıca erişim: Tekrarlanan elemanlarla permütasyon

basit kombinasyon

n farklı elemanı olan bir A kümesi düşünün. hadi diyelim kombinasyon p'den p'ye alınan n eleman p elemanları tarafından oluşturulan herhangi bir A alt kümesi. Kombinasyonu hesaplamak için formül şu şekilde verilir:

Örnek 9

Dörtten dörde kadar alınan 10 elementin kombinasyonunu hesaplayın.

Örnek 10

Kaç dörtgenler A, B, C, D, E ve F noktalarındaki köşelerle farklı oluşturabilir miyiz?

ABCD dörtgeninin bu bağlamda CDBA dörtgeni ile aynı olduğuna dikkat edin, bu nedenle dizileri değil kombinasyonu kullanmalıyız. Toplam altı noktamız var ve bunları dörde dörde birleştirmek istiyoruz, şöyle:

Bu nedenle, 15 farklı dörtgen oluşturabiliriz.

Kombinatoryal Analiz ve Olasılık

Çalışması olasılık, kombinatoryal analiz çalışmasıyla yakından ilişkilidir.. Bazı olasılık problemlerinde, verilen bir olayın tüm olası sonuçlarından oluşan bir kümeden oluşan örnek uzayı belirlemek gerekir.

Bazı durumlarda, örnek uzay E, olası sonuçların yazı veya tura olduğu ve aşağıdaki gibi gösterildiği, adil bir madeni paranın atılmasında olduğu gibi çok doğrudan yazılır:

E = {yazılar, turalar}

Şimdi aşağıdaki durumu hayal edin: Bir zar art arda üç kez atılıyor ve biz bu deney için örnek uzayı belirlemekle ilgileniyoruz. Tüm olasılıkları yazmanın artık basit bir iş olmadığını, saymanın temel ilkesini (PFC) kullanmamız gerektiğini unutmayın. Olay üç aşamada gerçekleştirilebilir, her birinde altı olasılığımız vardır, çünkü bir zarın altı yüzü vardır, bunun gibi:

1. aşama → altı olasılık

2. aşama → altı olasılık

3. aşama → altı olasılık

PFC'ye göre, olasılıkların toplamı şu şekildedir:

6 · 6 · 6

216

Yani bu olayın örnek uzayı 216 diyebiliriz.

Bakınız, olasılık çalışması için temel bir kombinatoryal analiz bilgisi gereklidir., çünkü bir deneyin örnek uzayını belirlemeden olasılık alıştırmalarının büyük çoğunluğunu çözmek imkansızdır. Daha fazla ayrıntı için Bu matematik alanı hakkında, metni okuyun:olasılık.

Kombinatoryal analiz ayrıca binomların incelenmesiyle de ilişkilidir.

çözülmüş alıştırmalar

soru 1 – Kale kelimesinin anagram sayısını belirleyin. Ardından c harfi ile başlayan anagram sayısını belirleyin.

çözüm

Anagram sayısını belirlemek için harf sayısının permütasyonunu şu şekilde hesaplamalıyız:

P₇ = 7!

P₇ = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

Kelimenin 5040 anagramı var. Şimdi c harfi ile başlayan anagram sayısını belirlemek için harfi sabitleyip diğerlerinin anagramını hesaplamamız gerekiyor, bakınız:

Ç__ __ __ __ __ __

c harfini düzelttiğimizde, permütasyonu hesaplamak için şu şekilde altı alan kaldığını unutmayın:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Yani elimizde c harfi ile başlayan kale kelimesinin 720 anagramı var.

soru 2 – Bir sınıfta beş erkek ve yedi kadın var. Üç erkek ve dört kadından oluşan kaç grup oluşturulabilir?

çözüm

İlk olarak, insanları seçtiğimiz sıranın önemli olmadığını görün, örneğin João tarafından oluşturulan grup, Marcos ve José, Marcos, João ve José tarafından oluşturulan aynı gruptur, bu nedenle kombinasyonu kullanmalıyız. hesaplama.

Erkeklerin ve kadınların oluşturabileceği grup sayısını ayrı ayrı hesaplayalım. O zaman bu sonuçları çarpalım, çünkü her erkek grubu, her erkek grubuyla karışabilir. KADIN.

erkekler

Toplam → 5

Gruptaki miktar → 3