anlayışı setler çalışmanın ana temelidir. cebir ve Matematikte büyük önem taşıyan kavramlar, örneğin fonksiyonlar ve eşitsizlikler. Kümeler için kullandığımız notasyon her zaman alfabemizdeki bir büyük harftir (örn. A kümesi veya B kümesi).
Açısından kümelerin temsili, tarafından yapılabilir Venn şemasıbasitçe elementlerinin özelliklerini tanımlayarak, elementleri numaralandırarak veya özelliklerini tanımlayarak. Kümeleri içeren problemlerle çalışırken, performans gerektiren durumlar vardır. kümeler arasındaki işlemler, birlik, kesişim ve fark olmak. Bütün bunları detaylı olarak mı inceleyeceğiz?
Ayrıca bakınız: Sayısal ifadeler – bunları çözmeyi öğrenin!
Kümelerin gösterimi ve gösterimi
Bir kümenin temsili için her zaman bir alfabenin baş harfi, ve öğeler her zaman arasında anahtarlar ve virgülle ayrılır. Örneğin, 1'den büyük ve 20'den küçük çift sayılar kümesini temsil etmek için şu gösterimi kullanırız: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Kümelerin temsil biçimleri
numaralandırma ile temsil: öğelerini sıralayabiliriz, yani her zaman parantezler arasında bir liste yapabiliriz. Bir örneğe bakın:
A = {1,5,9,12,14,20}
özellikleri açıklayan: Kümenin karakteristiğini basitçe tanımlayabiliriz. Örneğin, X bir küme olsun, elimizde X = {x, 5'in katı bir pozitif sayıdır}; Y: yılın ayları kümesidir.
Venn şeması: kümeler aynı zamanda bir diyagram şeklinde de gösterilebilir. Venn şeması, işlemleri gerçekleştirmek için daha verimli bir temsildir.
Misal:
A = {1,2,3,4,5} kümesi verildiğinde, onu aşağıdaki Venn şemasında gösterebiliriz:
Bir kümenin elemanları ve üyelik ilişkisi
Herhangi bir eleman verildiğinde, elemanın ait kümeye veya ait değil o sete. Bu üyelik ilişkisini daha hızlı temsil etmek için sembolleri kullanırız.
(ait olarak okuyun) ve ∉ (ait değil olarak okuyun). Örneğin, P kümesi olsun çift sayılar, diyebiliriz ki 7 ∉ P ve 12 P.
kümelerin eşitliği
Kümeler arasında karşılaştırma kaçınılmazdır, bu nedenle elemanlarının her birini kontrol ederek iki kümenin eşit olduğunu veya olmadığını söyleyebiliriz. A = { 0,1,3,4,8} ve B = { 8,4,3,1,0} olsun, elemanlar farklı sırada olsa bile A ve B kümelerinin eşit olduğunu söyleyebiliriz: A = B.
içerme ilişkisi
İki kümeyi karşılaştırırken birkaç ilişkiyle karşılaşabiliriz ve bunlardan biri içerme ilişkisidir. Bu ilişki için bazı sembolleri bilmemiz gerekiyor:
⊃ → ⊂ içerir→ içerir
⊅ → ⊄ içermez→içermiyor
İpucu: Sembolün açılış tarafı her zaman daha büyük kümeye bakacaktır. |
Bir A kümesinin tüm elemanları aynı zamanda bir B kümesine aitse, A ⊂ B veya A, B'de bulunur. Örneğin, A={1,2,3} ve B={1,2,3,4,5,6}. Temsil işlemini şu şekilde yapmak da mümkündür: Venn şeması, bu şöyle görünürdü:
A, B'de bulunur:
A ⊂ B
alt kümeler
Zaman içerme ilişkisi, yani A kümesi B kümesinde bulunur, A'nın B'nin bir alt kümesi olduğunu söyleyebiliriz. Altküme bir küme olarak kalır ve bir kümenin birden fazla alt kümesi olabilir, ona ait unsurlardan inşa edilmiştir.
Örneğin: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} alt kümeleri olarak B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} ve hatta A {1,2,3,4,5,6,7,8} kümesi, yani A kendisinin bir alt kümesidir.
üniter küme
Adından da anlaşılacağı gibi, bu set sadece bir elementi var, daha önce gösterilen D:{1} kümesi gibi. B: {1,2,3} kümesi verildiğinde, tümü birim kümeleri olan {1}, {2} ve {3} alt kümelerine sahibiz.
DİKKAT: E: {0} kümesi aynı zamanda tek bir "0" öğesi olduğundan ve boş bir küme olmadığından tekil bir kümedir.
Siz de okuyun: Tamsayılar - öğeler ve özellikler kümesi
boş küme
Daha da anlamlı bir adla, boş kümenin hiçbir öğesi yoktur ve herhangi bir kümenin alt kümesidir. Boş kümeyi temsil etmek için iki olası gösterim vardır, bunlar V: { } veya Ø sembolüdür.
Parça setleri
Belirli bir kümenin tüm olası alt kümelerini parça kümeleri olarak biliyoruz. A: {1,2,3,4,}, bu A kümesinin tüm alt kümelerini, aşağıdaki kümelerden başlayarak listeleyebiliriz: eleman yok (boş) ve sonra bir, iki, üç ve dört elemanlı olanlar, sırasıyla.
boş küme: { };
Birim setleri: {1}; {2};{3}; {4}.
İki elemanlı kümeler: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
üç elemanlı setler: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Dört elemanlı ayarla: {1,2,3,4}.
Bu nedenle, A'nın parça kümesini şu şekilde tanımlayabiliriz:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4,}, {1,2,3,4} }
Bir kümeyi kaç parçaya bölmenin mümkün olduğunu bulmak için şu formülü kullanırız:
n[P(A)] = 2Hayır
A'nın parça sayısı a ile hesaplanır. güç taban 2 yükseltildi Hayır, Ne üzerine Hayır kümedeki eleman sayısıdır.
Dört elemanlı A: {1,2,3,4} kümesini ele alalım. Bu kümenin olası alt kümelerinin toplamı 24 =16.
Siz de okuyun: İrrasyonel sayılar kümesi nedir?
Sonlu ve Sonsuz Küme
Kümelerle çalışırken, şu kümeleri buluruz: sınırlı (sonlu) ve olanlar sınırsız (sonsuz). set çift veya tek sayılarörneğin sonsuzdur ve onu temsil etmek için bazı öğelerini sırayla tanımlarız, böylece bir sonraki öğelerin ne olacağını tahmin etmek mümkün ve biz de elipsleri Son.
Ben: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Ancak sonlu bir kümede, tanımlı bir başlangıcı ve sonu olduğu için elipsleri sona koymayız.
A: {1,2,3,4}.
evren seti
Ö evren seti, ile gösterilir sen, bir problem içerisinde dikkate alınması gereken tüm unsurların oluşturduğu küme olarak tanımlanır. Her eleman evren kümesine aittir ve her küme de evren kümesinde bulunur.
Kümelerle işlemler
Kümelerle yapılan işlemler şunlardır: birleşim, kesişim ve fark.
kümelerin kesişimi
Öğeler aynı anda bir veya daha fazla kümeye ait olduğunda bir kesişim oluşur. A∩B yazarken, hem A kümesine hem de B kümesine ait öğeleri arıyoruz.
Misal:
A= {1,2,3,4,5,6} ve B = {2,4,6,7,8} düşünün, hem A kümesine hem de B kümesine ait olan elemanlar: A∩B = { 2 ,4,6}. Bu işlemin gösterimi şu şekilde yapılır:
A∩B
Kümelerin ortak bir elemanı yoksa kümeler olarak bilinirler. ayrık kümeler.
A∩B = Ø
setler arasındaki fark
hesapla iki küme arasındaki fark iki kümeden yalnızca birine ait olan öğeleri aramaktır. Örneğin, A - B, A kümesine ait olan ve B kümesine ait olmayan öğelerden oluşan bir cevap olarak bir kümeye sahiptir.
Örnek: A: {1,2,3,4,5,6} ve B: {2,4,6,7,8}. A ∩ B ={2,4,6} olduğuna dikkat edin, yani elimizde:
a) A - B = { 1,3,5 }
b) B – A = {7,8}
Birlik
İki veya daha fazla kümenin birleşimi, şartlarına katılmak. Her iki kümede de tekrar eden öğeler varsa, bunlar yalnızca bir kez yazılır. Örneğin: A={1,2,3,4,5} ve B={4,5,6,7,10,14}. Birliği temsil etmek için sembolü kullanırız (okur: A ile B birliği).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Bu işlemler hakkında daha fazla bilgi edinmek ve birkaç çözülmüş alıştırmaya göz atmak için şunu okuyun: Kümelerle işlemler.
Morgan'ın Kanunları
A ve B iki küme olsun ve U evren kümesi olsun, Morgan Kanunları tarafından verilen iki özellik vardır, yani:
(A U B)ç = birç ∩Bç
(A ∩ B)ç = birç UBç
Misal:
kümeler göz önüne alındığında:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Şunu kontrol edelim (A U B)ç = birç ∩Bç. Öyleyse, yapmalıyız:
UB = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Bu nedenle, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Eşitliğin doğruluğunu kontrol etmek için A işlemini analiz edelim.ç ∩Bç:
buç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Sonra, buç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = birç ∩Bç
çözülmüş alıştırmalar
01) U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} ve B: {4,5,6, 7,8,9}. Bunu göster (A ∩ B)ç = birç UBç.
Çözüm:
1. adım: bul (A ∩ B)ç. Bunun için elimizde A ∩ B = {4,5,6} var, yani (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. adım: bulmak birç UBç. buç:{7,8,9,10} ve Bç:{1,2,3,10}, yani Aç UBç = {1,2,3,7,8,9,19}.
(A ∩ B) olduğu gösterilir.ç = birç UBç.
02) A'nın 1'den 20'ye kadar olan çift sayılar kümesi olduğunu bilerek, bu kümenin elemanlarından oluşturabileceğimiz toplam alt küme sayısı nedir?
Çözüm:
P açıklanan küme olsun, elimizde şu P var: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Bu nedenle, P'nin eleman sayısı 10'dur.
Parçalar kümesi teorisine göre, P'nin olası alt kümelerinin sayısı:
210=1024
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni