Ö Argand-Gauss planı iki eksenden oluşur: biri dikey (hayali eksen olarak bilinir) ve diğeri yatay olarak (gerçek eksen olarak bilinir). Bu mümkün geometrik olarak temsil etmek Karışık sayılarcebirsel formda olan.
Bu geometrik gösterim sayesinde, modül ve argüman gibi bazı kavramlar geliştirin karmaşık bir sayının Karmaşık sayılar cebirsel olarak z = a + bi ile temsil edilir, bu nedenle ek olarak adlandırılan noktalar (a, b) ile temsil edilirler.
Siz de okuyun: Karmaşık sayıların toplamının geometrik gösterimi
Karmaşık sayıların geometrik gösterimi
Argand-Gauss düzlemi olarak da bilinen karmaşık düzlem, birkartezyen düzlem karmaşık sayılar için. Argand-Gauss düzleminde, karmaşık bir sayıyı ek olarak bilinen nokta olarak göstermek mümkündür. Karmaşık planın gelişmesiyle birlikte, gelişimi analitik Geometri karmaşık sayılar içinmodül ve argüman gibi önemli kavramların geliştirilmesini mümkün kılar.
Cebirsel biçiminde temsil edilen karmaşık bir sayı
z = a+bi, Ne üzerine gerçek kısmı ve B hayali kısımdır. Bu nedenle, karmaşık sayılar bir nokta olarak temsil edilir (a, b). Argand-Gauss düzleminde yatay eksen gerçek parçanın ekseni, dikey eksen ise hayali parçanın eksenidir.ek
Ö karmaşık bir sayıyı temsil eden düzlemde nokta ek olarak da adlandırılır. Üç olası temsil durumu vardır: hayali ekler, gerçek ekler ve saf hayali ekler.
hayali ekler
Karmaşık sayının her ikisine de sahip olduğunda, bir ek hayali olarak bilinir. reel kısım ve sanal kısım sıfırdan farklı. Bu durumda ek, a, b değerlerine ve ilgili işaretlerine bağlı olarak dört kadrandan herhangi birinde bir noktadır.
Misal:
Karmaşık sayıların temsiline bakın z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i ve z4= 1 - 4i.
Ayrıca bakınız: Karmaşık sayılar içeren özellikler
saf hayali ekler
Karmaşık bir sayı saf hayali olarak bilinir, gerçek parçan sıfıra eşit olduğunda, yani, z = bi. Bu durumda ilk koordinatın her zaman sıfır olduğuna dikkat edin, bu nedenle (0, b) türündeki noktalarla çalışalım. Argand-Gauss düzleminde işaretlerken, her zaman saf bir hayali ek hayali eksene ait bir nokta olacak, yani dikey eksene.
Misal:
Karmaşık sayıların temsiline bakın z1 = 2i ve z2= -3i.
gerçek ekler
Karmaşık bir sayı olarak sınıflandırılır gerçek Numarasenin ne zaman sanal kısım sıfıra eşittir, yani, z = a. Bu durumda, ikinci koordinat her zaman sıfırdır, bu yüzden (a, 0) türündeki noktalarla çalışacağız, bu nedenle sanal kısım sıfırdır ve ekler karmaşık düzlemin gerçek ekseninde bulunur.
Misal:
Karmaşık sayıların temsiline bakın z1 = 2 ve z2 = -4.
Karmaşık sayı modülü
Bir karmaşık sayıyı temsil ederken, z = a + bi karmaşık sayısının eki P (a, b) olsun. Karmaşık sayı a'nın modülünü biliyoruz. P noktasından orijine olan uzaklık. Karmaşık bir z sayısının modülü |z| ile temsil edilir. |z| değerini bulmak için, Pisagor teoremi.
|z|² =a²+b²
Ayrıca şu şekilde temsil edebiliriz:
Misal:
z = 12 -5i karmaşık sayısının modülünü bulun.
|z|² = 12² + (-5)²
|z|² 144 + 25
|z|²= 169
|z|=√169
|z| =13
Ayrıca erişim: Rasyonel sayılar nelerdir?
karmaşık sayı argümanı
Nasıl olduğunu biliyoruz argüman karmaşık bir sayının Ö OP vektörü ve gerçek eksen tarafından oluşturulan θ açısı. Bir sayının argümanı arg(z) = θ ile temsil edilir.
Açıyı bulmak için kullanırız trigonometrik oranlar sinüs ve kosinüs.
Argümanın değerini bulmak için sinüs ve kosinüsü bilerek, sadece bu trigonometrik oranlar için değerler tablosuna bakın. Genellikle, bu konuyla ilgili üniversite giriş sınavı sorularında argüman şudur: olağanüstü açı.
Misal:
Karmaşık sayı bağımsız değişkeni z = 1 + i'yi bulun.
Önce z'nin modülünü hesaplayalım.
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1+1
|z|² = 2
|z| = √2
|z|'yi bilerek, sinüs ve kosinüs açının.
Bulunan değerlerle sinüs ve kosinüs olan açı 45º'dir.
çözülmüş alıştırmalar
Soru 1 - z = √3+ i karmaşık sayısının argümanı nedir?
A) 30.
B) 45.
C) 60.
D) 90º
E) 120.
çözüm
Alternatif C.
a = √3 ve b = 1 olduğunu biliyoruz, yani:
Soru 2 - Aşağıdaki karmaşık planda bazı sayılar temsil edilmiştir. Planı analiz ederek, noktaların salt hayali sayıların temsilleri olduğunu söyleyebiliriz:
A) M, N ve I.
B) P ve İ.
C) L ve G.
D) O, ben, G.
E) K, J ve L.
çözüm
Alternatif B.
Karmaşık düzlemde saf bir sanal sayıyı tanımlamak için, bu durumda P ve I noktaları olan dikey eksenin üstünde olması gerekir.
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
