trigonometrik daire temsil edilen yarıçapı 1 olan bir dairedir. kartezyen düzlem. İçinde yatay eksen kosinüs ekseni ve dikey eksen sinüs eksenidir. Trigonometrik döngü olarak da adlandırılabilir.
Trigonometrik oranların çalışmasını yürütmek için kullanılır. Bununla, ana trigonometrik nedenleri daha iyi anlamak mümkündür. açılar 180º'den büyük, yani: sinüs, kosinüs ve tanjant.
Siz de okuyun: Temel Trigonometride en yaygın 4 hata
Trigonometrik daireyi oluşturmak için adım adım
Trigonometrik çemberi oluşturmak için, iki eksen kullanıyoruz, biri dikey diğeri yatay, Kartezyen bir düzlem gibi. Yatay eksen olarak bilinir kosinüs ekseni, ve dikey eksen olarak bilinir sinüs ekseni.
Eksenlerin yapımı ile yarıçapı 1 olan bir dairenin grafiğini çizelim.
Çemberdeki trigonometrik oranlar
değerini bulmak için çemberi kullanırız. sinüs, kosinüs ve tanjant, açı değerine göre. sahip olmak dikey eksende sinüs değeri ve yatay eksende kosinüs değeri
, trigonometrik daire üzerinde bir açı belirleyerek, sinüs ve kosinüs değerini analiz ederek bulmak mümkündür. doğru parçasının dairenin merkezini ve çevreyi birleştirdiği noktanın koordinatları, a görüntüsünde P ile temsil edilir. takip et. (1.0) noktasındaki çembere teğet doğruyu çizersek, bu açının tanjantını da görsele göre analitik olarak hesaplayabiliriz:
Siz de okuyun: Sekant, kosekant ve kotanjant nedir?
Trigonometrik Daire Radyan
Bir yayın iki farklı ölçü birimi kullanılarak ölçülebileceğini biliyoruz: derece cinsinden ölçü ve ölçü cinsinden ölçü. radyan. Biz biliyoruz ki çevresi 360º ve yayınızın uzunluğunun 2π olduğunu:
Trigonometrik dairenin dörtgenleri
Radyan veya derece cinsinden, belirli bir yayın bulunduğu kadranı, ölçümüne göre tanımlamak mümkündür.
Döngüyü analiz ederek şunları yapmalıyız:
ilk çeyrek: 0 ila 90° veya 0 ve π/2 radyan arasındaki açılar;
ikinci çeyrek: 90º ve 180º veya π/2 ve π radyan arasındaki açılar;
üçüncü çeyrek: 180° ile 270° veya π ile 3 π/2 radyan arasındaki açılar;
dördüncü çeyrek: 270° ve 360° veya 3π/2 ve 2π radyan arasındaki açılar.
Siz de okuyun: Plan özellikleri ve özellikleri
Trigonometrik çemberde dikkat çekici açılar
Çalışmanın başında trigonometri, dikkate değer açıların bilinen sinüs, kosinüs ve tanjant değerine sahip 30º, 45º ve 60º açıları olduğunu öğrendik. Ancak trigonometrik döngünün simetrisi nedeniyle, bu açılar ve simetrik açılar için sinüs ve kosinüs değerlerini bulmak mümkündür. her çeyrekte ona.
Trigonometrik Daire İşaretleri
Döngüdeki trigonometrik oranların her birinin işaretinin ne olduğunu anlamak için Kartezyen düzlemindeki eksen değerlerini analiz etmek yeterlidir.
Kosinüs ile başlayalım. Yatay eksen olduğu için dikey eksenin sağındaki açıların kosinüsü pozitif, dikey eksenin solundaki açıların kosinüsü negatiftir.
Şimdi, bir açının sinüs işaretini anlamak için, dikey eksenin sinüs ekseni olduğunu unutmayın, bu nedenle yatay eksenin üzerindeki açının sinüsü pozitiftir; ancak açı yatay eksenin altındaysa, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi bu açının sinüsü negatiftir:
Biz biliyoruz ki tanjant sinüs ve kosinüs arasındaki orandır, sonra, teğetin her bir çeyreğin işaretini bulmak için, teğeti tek kadranlarda pozitif ve çift kadranlarda negatif yapan işaret oyunu oynarız:
Siz de okuyun: Yarı düz, yarı düzlem ve yarı uzay nedir?
çemberdeki simetri
Trigonometrik döngünün analizi, sinüs, kosinüs ve tanjantı birinci çeyreğe indirgemek için bir yol inşa etmek mümkündür.. Bu indirgeme, birinci kadranda diğer kadranda bir açıya simetrik olan bir açı bulmak anlamına gelir. çünkü simetrik bir açıyla çalıştığımızda, trigonometrik oranların değeri aynıdır, sadece açısını değiştirir. sinyal.
2. kadrandaki bir açının 1. çeyreğe indirgenmesi
2. çeyrekteki açılardan başlayarak şunları yapmalıyız:
Bildiğimiz gibi 1. ve 2. çeyreklerde sinüs pozitiftir. Bu nedenle, sinüsün 2. kadrandan 1. kadrana indirgenmesini hesaplamak için şu formülü kullanırız:
günah x= günah (180º - x)
2. çeyrekteki kosinüs ve tanjant negatiftir. Kosinüsü 2. kadrandan 1. kadrana azaltmak için şu formülü kullanırız:
cosx = – cos (180º – x)
tg x = – tg (180º – x)
Misal:
120°'lik bir açının sinüs ve kosinüs değeri kaçtır?
120° açı, 90° ile 180° arasında olduğu için bir çeyrek ikinci açıdır. Bu açıyı 1. çeyreğe indirgemek için şunu hesaplıyoruz:
günah 120° = günah (180° – 120°)
günah 120º = günah 60º
60° açı dikkate değer bir açıdır, dolayısıyla sinüs değeri bilinir, yani:
Şimdi kosinüsünüzü hesaplayalım:
çünkü 120º = – çünkü (180 – 120)
çünkü 120º = - çünkü 60º
60º'nin kosinüsünü bildiğimiz için şunları yapmalıyız:
3. kadrandaki bir açının 1. kadrana indirgenmesi
2. kadranda olduğu gibi 3. kadranda açılar ile 1. kadranda açılar arasında simetri vardır.
Üçüncü çeyrekteki sinüs ve kosinüs negatiftir. Bu nedenle, sinüs ve kosinüsü 3. kadrandan 1. kadrana indirgemek için şu formülü kullanırız:
günah x = – günah (x – 180º)
cosx = – cos (x – 180º)
3. kadrandaki tanjant pozitiftir. Bunu azaltmak için formülü kullanıyoruz:
tg x = tg (x – 180º)
Misal:
225º'nin sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını hesaplayın.
günah 225º = – günah (225º – 180º)
günah 225º = – günah 45º
45º dikkate değer bir açı olduğundan, masaya bakarken şunları yapmalıyız:
Şimdi, kosinüsü hesaplarken şunu yapmalıyız:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
tg45º = 1 olduğunu biliyoruz, yani:
tg 225º = 1
4. kadrandaki bir açının 1. kadrana indirgenmesi
Önceki indirgemelerle aynı mantıkla 4. ve 1. kadran arasında bir simetri vardır:
4. kadrandaki sinüs ve teğet değerleri negatiftir. Bu nedenle, 4. çeyreğe 1. çeyreğe indirgeme yapmak için şu formülü kullanırız:
günah x = – günah (360º – x)
tg x = – tg (360º – x)
4. kadrandaki kosinüs pozitiftir. Yani, 1. çeyreğe indirgemek için formül:
cos x = cos (360º - x)
Misal:
330º'nin sinüs ve kosinüs değerini hesaplayın.
Sinüs ile başlayarak:
Şimdi kosinüsü hesaplıyoruz:
Siz de okuyun: Uzayda iki nokta arasındaki mesafe nasıl hesaplanır?
Trigonometrik Daire Çözümlü Alıştırmalar
soru 1 - Dairesel momentin incelenmesi sırasında bir fizikçi, kendi etrafında dönen ve 15.240º'lik bir açı oluşturan bir nesneyi analiz etti. Bu açıyı analiz ederek, oluşturduğu yay şu şekildedir:
A) kadran I.
B) kadran II.
C) kadran III.
D) kadran IV.
E) eksenlerden birinin üstünde.
çözüm
Alternatif B.
Bu cismin her 360° kendi etrafında bir daire çizdiğini biliyoruz. gerçekleştirirken bölünme 15,240 x 360, bu nesnenin kendi etrafında kaç tam dönüş yaptığını bulacağız, ancak asıl ilgi alanımız, durduğu açıyı temsil eden geri kalanıdır.
15.240: 360 = 42,333…
Sonuç, kendi etrafında 42 dönüş yaptığını, ancak 360 · 42 = 15.120 olduğunu gösteriyor, bu yüzden bir açı bıraktı:
15.240 – 15.120 = 120º
120°'nin bir çeyrek ikinci açı olduğunu biliyoruz.
Soru 2 - Lütfen aşağıdaki ifadeleri değerlendirin:
I → tg 140º hesaplanırken değer negatif olacaktır.
II → 200° açı, 2. çeyreğin bir açısıdır.
III → Sen 130º = günah 50º.
Doğru alternatifi işaretleyin:
A) Sadece ben yanlıştır.
B) Yalnız II yanlıştır.
C) Sadece III yanlıştır.
D) Hepsi doğrudur.
çözüm
Alternatif B.
I → Doğru, çünkü 140º açı, tanjantın her zaman negatif olduğu 2. çeyreğe aittir.
II → Yanlış, çünkü 200º açı 3. çeyreğin açısıdır.
III → Doğru, çünkü bir açıyı 2. kadrandan 1. çeyreğe azaltmak için 180° – x farkını hesaplayın, o zaman:
günah 130° = günah (180° – 130°)
130. günah = 50. günah
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm