Polinom Ayrışma Teoremi

Cebirin temel teoremi polinom denklemleri garanti eder "her derece polinomu n≥ 1 en az bir karmaşık kökü vardır". Bu teoremin kanıtı matematikçi Friedrich Gauss tarafından 1799'da yapıldı. Ondan, gösterebiliriz polinom ayrıştırma teoremi, herhangi bir polinomun birinci dereceden faktörlere ayrıştırılabileceğini garanti eder. Aşağıdaki polinomu alın p(x) dereceli n ≥ 1 ve_Hayır ≠ 0:

p(x) = bir_Hayır x^Hayır +_n-1 x^n-1 + … +₁x¹ +₀

Cebirin temel teoremi ile bu polinomun en az bir karmaşık kökü olduğunu söyleyebiliriz. sen₁, öyle ki p(u₁) = 0. Ö D'Alembert teoremi için polinomların bölünmesi eğer p(u₁) = 0, sonra p(x) bölünebilir (x - u₁), bir bölüm ile sonuçlanır ne₁(x)bir derece polinomu olan (n - 1), bu da bizi şunu söylemeye götürür:

p (x) = (x - u₁). ne₁(x)

Bu denklemden iki olasılığı vurgulamak gerekir:

u = 1 ise ve ne₁(x) bir derece polinomudur (n - 1), sonra ne₁(x) derecesi var 0. baskın katsayısı olarak p(x) é _Hayır, ne₁(x) tipinin sabit bir polinomudur ne₁(x)=_Hayır. Böylece sahibiz:

p (x) = (x - u₁). ne₁(x)
(x) = (x - u₁)._Hayır
p(x) = bir_Hayır . (x - u₁)

Ama eğer sen ≥ 2, daha sonra polinom ne₁ derecesi var n - 1 ≥ 1 ve cebirin temel teoremi tutar. polinomu diyebiliriz ne₁ en az bir kökü var Hayır₂, bu da bizi şunu söylemeye itiyor ne₁ şu şekilde yazılabilir:

ne₁(x) = (x - u₂). ne₂(x)

Ama nasıl p (x) = (x - u₁). ne₁(x), şu şekilde yeniden yazabiliriz:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). ne₂(x)

Bu işlemi art arda tekrarlayarak, sahip olacağız:

p(x) = bir_Hayır. (x - u₁). (x - u₂) … (x – u_Hayır)

Böylece, her polinom veya polinom denkleminin p(x) = 0 dereceli n≥ 1 tam olarak sahip olmak Hayır karmaşık kökler​

Misal: ol p(x) derece polinomu 5öyle ki kökleri – 1, 2, 3, – 2 ve 4. Bu polinomu 1. dereceden çarpanlarına ayırarak yazınız. baskın katsayı eşittir 1. Genişletilmiş biçimde yazılmalıdır:

Eğer – 1, 2, 3, – 2 ve 4 polinomun kökleridir, bu nedenle farklılıklarının ürünü x bu köklerin her biri için p(x):

p(x) = bir_Hayır.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

baskın katsayı ise _Hayır = 1, sahibiz:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12) (x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Amanda Gonçalves tarafından
Matematik mezunu

Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm