bu basit kombinasyon üzerinde çalışılan gruplardan biridir. kombinatoryal analiz. Sayısını bir kombinasyon olarak biliyoruz tüm alt kümeleri k kümesinden oluşturabileceğimiz öğeler Hayır elementler.
Örneğin, tüm sonuçları hesaplamak için kombinasyonu kullandığımız durumları görmek oldukça yaygındır. piyango oyunlarında veya poker oyunlarında ve olasılık ve olasılık çalışması gibi diğer durumlarda mümkündür. istatistik.
Bir diğer çok yaygın gruplama ise düzenlemedir. Düzenlemeyi kombinasyondan ayıran şey, düzenlemede öğelerin sırasının önemli olması ve kombinasyonda sıranın önemli olmamasıdır. Bu nedenle, kombinasyonu alt kümelerin seçimiyle karşılaştırırız.
Siz de okuyun: Saymanın temel ilkesi - olasılıkları ölçmek için kullanılır
Basit kombinasyon nedir?
Kombinatoryal analizde, olası kümelerin sayısı incelenir. Bu gruplamalar arasında basit kombinasyon olarak bilinenler vardır. Basit kombinasyon, başka bir şey değildir. ile tüm alt kümelerin sayısı k belirli bir kümenin elemanları, örneğin: 6 sayının rastgele çekildiği megassena.
Bu durumda, bu 6 sayının seçilme sırasının hiçbir fark yaratmadığını görebilirsiniz, yani, sıra önemli değil, bu da bu sonucu bir alt küme yapar. Bu özellik, bir kombinasyonun ne olduğunu anlamak ve onu diğer gruplamalardan ayırt etmek için temeldir - kombinasyonda, kümenin öğelerinin sırası önemli değildir.
basit kombinasyon formülü
Kombinasyonla ilgili problemler bir formülle hesaplanır. kombinasyonu Hayır alınan elemanlar k içinde k é:
n → kümedeki toplam eleman
k → alt kümedeki toplam eleman
Ayrıca bakınız: Toplamsal sayma ilkesi - iki veya daha fazla kümenin öğelerinin birleşimi
Bir kombinasyon nasıl hesaplanır?
İlk başta, bir problemin ne zaman bir kombinasyon olduğunu bilmek önemlidir. Örneklemek için, olası tüm kombinasyonları bulun. Ayarlamak {A, B, C, D} iki elemanlı:
İki elemanlı liste kombinasyonları: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} ve {C, D}. Bu durumda, 6 olası kombinasyon olduğunu görmek mümkündür ve ayrıca {A, B} ve {B, A} alt kümelerinin eşit olduğunu belirtmekte fayda var, çünkü kombinasyonda sıralama önemli değil. .
Tüm olası kombinasyonları listelemenin her zaman mümkün olmadığı ve hatta gerekli olmadığı ortaya çıktı. en büyük ilgi kombinasyon sayısıdır ve her birinin listesinde değil. Bunun için formülü kullanmak oldukça pratiktir.
Misal:
Bir okul, matematik olimpiyatlarında ilk 10 arasında her öğrenci için bir tane olmak üzere üç bilet çekecek. Testi tamamladıktan ve ilk 10 yeri öğrendikten sonra, kura sonucu için olası kombinasyonları hesaplayın.
Çekiliş sonucunda sıralamanın önemli olmadığını, bu yüzden bir kombinasyon problemi ile çalıştığımızı unutmayın.
Daha sonra 3'te 3'ten alınan 10 elementin kombinasyonunu hesaplayacağız. Formülde ikame ederek şunları yapmalıyız:
Şimdi faktöriyellerin sadeleştirilmesini yapalım. Bu noktada, hesaplamada ustalaşmak esastır. faktöriyel bir numara. 10 gibi! paydadaki herhangi bir faktöriyelden daha büyüktür ve paydaya bakıldığında, 7! bunlardan en büyüğü, 10'u öncekilerle çarpımını 7'ye ulaşana kadar yapalım, böylece sadeleştirmek mümkün olur.
Pascal üçgeni
Kombinatoryal analizde yaygın olarak kullanılan araçlardan biri, esas olarak bir Newton'un iki terimlisi, Pascal üçgenidir. Bu üçgen kombinasyonların sonuçlarından oluşturulan, iki sayının birleşimini göstermenin başka bir yolu şudur:
Pascal üçgeni, 0'dan 0'a kadar alınan 0 öğelerin birleştirilmesiyle 0 satırı ve 0 sütununda başlar. Çizgiler aynı Hayır, ve sütunlar eşittir k, aşağıdaki şekli oluşturur:
Kombinasyonlardan elde edilen değerlerin yerine konulması:
Pascal üçgeninin satır ve sütunları sayesinde istediğimiz kombinasyonun değerini bulmak mümkündür. Gerekirse, gerektiği kadar satırın terimlerini bulabiliriz. Bu çözümleme yöntemi hakkında daha fazla bilgi edinmek için metni okuyun: Pascal üçgeni.
Düzenleme ve kombinasyon arasındaki fark
Düzenleme ve kombinasyon, kombinatoryal analizde incelenen eşit derecede önemli iki gruptur. Bu grupların her biri arasındaki farkı bilmek önemlidir, yani eğer onları bir sayı ile hesaplayacaksak. düzenleme veya bir kombinasyon.
Görünüşe göre kombinasyon, kümeler toplanırken, küme elemanlarının sırası önemli değildir., yani {A, B} = {B, A}, ancak gruplamada sıranın önemli olduğu durumlar vardır, bu durumda bir dizi ile çalışıyoruz.
de aranjman, sonra, elemanların sırası farklıdır, yani {A, B} ≠ {B, A}, çok yaygın bir düzenleme örneği, 10 kişi arasında verilen bir yarışmanın podyumunu kaç farklı şekilde oluşturabileceğimizi hesaplamak olabilir. Bu örnekte, sıralamanın önemli olduğuna dikkat edin, bu da onu düzenleme formülüyle çözülebilir kılar. Teorik tanıma ek olarak, formüller farklıdır ve düzenleme formülü é:
çözülmüş alıştırmalar
soru 1 – (Enem) On iki takım amatör bir futbol turnuvasına kaydoldu. Turnuvanın açılış maçı şu şekilde belirlendi: İlk olarak A Grubu'nu oluşturan 4 takım belirlendi. Ardından A Grubu'ndaki takımlar arasından ilki kendi sahasında, ikincisi ise konuk takım olmak üzere 2 takım turnuvanın açılış maçını oynamak üzere kura çekildi. A Grubu için olası toplam tahmin sayısı ve açılış maçındaki takımlar için toplam tahmin sayısı kullanılarak hesaplanabilir.
A) Sırasıyla bir kombinasyon ve bir düzenleme.
B) Sırasıyla bir düzenleme ve bir kombinasyon.
C) Sırasıyla bir düzenleme ve bir permütasyon.
D) iki kombinasyon
E) iki düzenleme.
çözüm
alternatif A
Düzenleme ve birleştirmeyi ayırt etmek için gruplamada sıranın önemli olup olmadığını analiz etmek gerekir. A Grubu, sırayla bağımsız olarak çekilen 4 takım tarafından oluşturulduğundan, yani ilk olarak bir kombinasyon olduğundan, ilk gruplamada sıralamanın önemsiz olduğunu unutmayın.
İkinci gruplandırmayı incelediğimizde, kura çekilecek ilk takım saha komutuna sahip olacağından, bu gruplandırmayı bir düzenleme haline getiren düzenin önemli olduğunu görmek mümkündür.
Bu şekilde düzen bir kombinasyon ve bir düzenlemedir.
Soru 2 - 7 yetişkinden oluşan bir aile, seyahat güzergâhını belirledikten sonra, bir havayolunun web sitesine başvurdu ve seçilen tarihteki uçuşun neredeyse dolu olduğunu gördü. Web sitesinde bulunan şekilde, dolu koltuklar X ile işaretlenmiştir ve mevcut koltuklar sadece beyaz renktedir.
Aileyi bu uçuşta ağırlamanın farklı yollarının sayısı şu şekilde hesaplanır:
çözüm
Alternatif B. Durumu analiz ederken, sıranın, yani hangi aile üyesinin hangi sandalyeye oturacağının önemli olmadığını unutmayın. Önemli olan ailenin seçtiği 7 koltuk. Yani bir kombinasyonla çalışıyoruz. 9 koltuk boştur ve 7 kişi seçilecektir. 9'dan 7'ye kadar olan kombinasyonu hesaplayalım. Formülde ikame ederek şunları yapmalıyız:
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm