Bir aritmetik ilerleme (PA) bir sıra her terimin bir önceki terimin bir sabitle toplamı olduğu sayısal, oran denir. onlar var matematiksel ifadeler Bir PA'nın süresini belirlemek ve toplamını hesaplamak için Hayır ilk terimler.
hesaplamak için kullanılan formül terimlerin toplamı sonlu bir PA'nın veya toplamın Hayır PA'nın ilk şartları aşağıdaki gibidir:
sHayır = de1 +Hayır)
2
*n, BP terimlerinin sayısıdır;1 ilk terimdir veHayır sonuncusu.
PA terimlerinin toplamının kökeni
Alman matematikçi Carl Friederich Gauss'un yaklaşık 10 yaşında okulda aldığı dersle cezalandırıldığı söyleniyor. Öğretmen öğrencilere tabloda görünen tüm sayıları toplamalarını söyledi. sıra 1'den 100'e kadar.
Gauss, çok kısa bir sürede ilk bitiren olmanın yanı sıra, doğru sonucu alan tek kişiydi (5050). Ayrıca, herhangi bir hesaplama göstermedi. Yaptığı şey aşağıdaki mülkü onarmaktı:
Sonlu bir PA'nın uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan iki terimin toplamı, uçların toplamına eşittir.
hakkında bilgi yoktu TAVA ama Gauss sayıların listesini inceledi ve ilki sonuncuya eklemenin 101 ile sonuçlanacağını fark etti; ikinciyi sondan bir önceki sayıya eklersek, sonuç da 101 olur ve bu böyle devam ederdi. Tüm terim çiftlerinin toplamı olarak
eşit uzaklıkta Gauss'un 5050 sonucunu bulmak için bu sayıyı mevcut terimlerin yarısı ile çarpması yeterliydi.1'den 100'e kadar tam olarak 100 sayı olduğuna dikkat edin. Gauss, onları ikişer ikişer toplarsa, 101'e eşit 50 sonuç alacağını fark etti. Dolayısıyla bu çarpma toplam terimlerin yarısı ile yapılmıştır.
Bir PA'nın terimlerinin toplamının gösterilmesi
Bu başarı, hesaplamak için kullanılan ifadeye yol açtı. toplamı Hayır PA'nın ilk şartları. Bu ifadeye ulaşmak için kullanılan taktik şu şekildedir:
verilen TAVA herhangi biri, bunun ilk n terimini ekleyeceğiz. Matematiksel olarak, sahip olacağız:
sHayır =1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +Hayır
bunun hemen altında terimlerin toplamı, bir öncekiyle aynı terimlerle, ancak azalan anlamda bir tane daha yazacağız. İlkindeki terimlerin toplamının ikincideki terimlerin toplamına eşit olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, her ikisi de S ile eşitlendi.Hayır.
sHayır =1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +Hayır
sHayır =Hayır +n - 1 +n – 2 + … +3 +2 +1
Bu iki ifadenin tek bir ifadeden elde edildiğine dikkat edin. TAVA ve eşit mesafeli terimlerin dikey olarak hizalanmış olmasıdır. Bu nedenle, elde edilecek ifadeleri ekleyebiliriz:
sHayır =1 +2 +3 + … +n – 2 +n - 1 +Hayır
+ sHayır =Hayır +n - 1 +n – 2 + … +3 +2 +1
2SHayır = (1 +Hayır) + (bir2 +n - 1) + … + (birn - 1 +2) + (birHayır +1)
Uçlardan eşit uzaklıkta olan terimlerin toplamının, uç noktaların toplamına eşit olduğunu unutmayın. Bu nedenle, daha sonra yapacağımız gibi, her parantez, uç noktaların toplamı ile değiştirilebilir:
2SHayır = (1 +Hayır) + (bir1 +Hayır) +... + (1 +Hayır) + (bir1 +Hayır)
Gauss'un fikri, bir dizinin eşit uzaklıklı terimlerini eklemekti. Bu yüzden terimlerin yarısını aldı TAVA sonuçlarda 101. Bunu, başlangıçtaki BP'nin her bir terimi, eşit uzaklık değerine eklenecek şekilde yaptık. terim sayısı. Böylece, PA'da n terim olduğu için, yukarıdaki ifadedeki toplamı bir çarpma ile değiştirebilir ve çözebiliriz. denklem bulmak:
2SHayır = (1 +Hayır) + (bir1 +Hayır) +... + (1 +Hayır) + (bir1 +Hayır)
2SHayır = n (bir1 +Hayır)
sHayır = de1 +Hayır)
2
Bu tam olarak eklemek için kullanılan formüldür. Hayır PA'nın ilk şartları.
Misal
Verilen PA (1, 2, 3, 4), ilk 100 teriminin toplamını belirleyin.
Çözüm:
a terimini bulmamız gerekecek.100. Bunun için kullanacağımız genel terim formülü bir PA'nın:
Hayır =1 + (n – 1)r
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
Şimdi ilk n terimi toplama formülü:
sHayır = de1 +Hayır)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Luiz Paulo Moreira'nın fotoğrafı.
Matematik mezunu
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm