A köklenme Tıpkı toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kuvvetlendirme gibi matematiksel bir işlemdir. Çıkarma işleminin toplama işleminin tersi olması ve bölmenin çarpma işleminin tersi olması gibi, ışınlama da potansiyelleştirme işleminin tersi işlemidir. Böylece, gerçel pozitif x ve y ve n tamsayısı (2'den büyük veya eşit) için, eğer x, n'ye yükseltilmişse, y'ye eşitse, y'nin n'inci kökünün x'e eşit olduğunu söyleyebiliriz. Matematiksel gösterimde: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Siz de okuyun:Kesirlerin kuvvetlendirilmesi ve ışınımı - nasıl yapılır?
Rootlama hakkında özet
Radyasyon matematiksel bir işlemdir.
Işınım ve potansiyelleşme ters işlemlerdir, yani pozitif x ve y için, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Bir y sayısının n'inci kökünü hesaplamak, x'i n'ye yükselterek y'ye eşit olacak şekilde x sayısını bulmak anlamına gelir.
Bir kökü okumak n dizinine bağlıdır. n = 2 ise buna karekök, n = 3 ise küpkök diyoruz.
Köklü işlemlerde aynı indekse sahip terimleri kullanırız.
Radyasyonun hesaplanmasını kolaylaştıran önemli özellikleri vardır.
Köklenme hakkında video dersi
Bir kökün temsili
Köklenmeyi temsil etmek için, ilgili üç unsuru göz önünde bulundurmalıyız: radicand, indeks ve kök. Sembol \(√\) radikal denir.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
Bu örnekte, y radikaldir, n indekstir ve x köktür. "y'nin n'inci kökü x'tir" yazıyor. X ve y pozitif gerçek sayıları temsil ederken, n, 2'ye eşit veya daha büyük bir tam sayıyı temsil eder. n = 2 için endeksin çıkarılabileceğine dikkat etmek önemlidir. Yani mesela, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Radicand'ı kesirli bir üsle kullanarak bir ışınımı temsil edebiliriz.. Resmi olarak, n'inci kökün olduğunu söylüyoruz. \(y^m\) y'nin kesirli üssüne yükseltilmesi şeklinde yazılabilir \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Örneklere bakın:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Radyasyon ve potansiyelleşme arasındaki farklar
Potansiyelleşme ve radyasyon ters matematiksel işlemlerdir. Bu şu anlama gelir: \(x^n=y\), Daha sonra \(\sqrt[n]{y}=x\). Zor görünüyor mu? Bazı örneklere bakalım.
Eğer \(3^2=9\), Daha sonra \(\sqrt[2]{9}=3\).
Eğer \(2^3=8\), Daha sonra \(\sqrt[3]{8}=2\).
Eğer \(5^4=625\), Daha sonra \(\sqrt[4]{625}=5\).
Kök nasıl okunur?
Bir kökü okumak için, endeksi dikkate almalıyız N. Eğer n = 2 ise, biz buna karekök diyoruz. Eğer n = 3 ise buna küp kök diyoruz. değerleri için N daha büyükse, sıra sayıları için terminolojiyi kullanırız: dördüncü kök (n = 4 ise), beşinci kök (n = 5 ise) vb. Bazı örneklere bakın:
\(\sqrt[2]{9}\) – 9'un karekökü.
\(\sqrt[3]{8}\) – 8'in küp kökü.
\(\sqrt[4]{625}\) – 625'in dördüncü kökü.
Bir sayının kökü nasıl hesaplanır?
Aşağıda pozitif bir reel sayının kökünün nasıl hesaplanacağını göreceğiz. Bir sayının kökünü hesaplamak için, ilgili ters işlemi dikkate almalıyız. Yani, eğer bir y sayısının n'inci kökünü ararsak, öyle bir x sayısı aramalıyız ki \(x^n=y\).
Y'nin (yani kökün) değerine bağlı olarak bu süreç basit veya zahmetli olabilir. Bir sayının kökünün nasıl hesaplanacağına dair bazı örneklere bakalım.
Örnek 1:
144'ün karekökü nedir?
Çözünürlük:
Aradığımız sayıya x diyelim yani \(\sqrt{144}=x\). Bunun, öyle bir x sayısını aramak anlamına geldiğini unutmayın: \(x^2=144\). Bazı olasılıkları doğal sayılarla test edelim:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Öyleyse, \(\sqrt{144}=12\).
Örnek 2:
100'ün küp kökü nedir?
Çözünürlük:
Aradığımız sayıya x diyelim yani \(\sqrt[3]{100}=x\). Bu şu demek \(x^3=100\). Bazı olasılıkları test edelim:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
4 ile 5 arasında bir sayı aradığımızı unutmayın. \(4^3=64\) Bu \(5^3=125\). Şimdi 4 ile 5 arasındaki sayılarla bazı olasılıkları test edelim:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Gibi \(4,6^3 \) 100'e yakın ve küçük bir sayı ise 4,6'nın 100'ün küp köküne yakın bir sayı olduğunu söyleyebiliriz. Öyleyse, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Önemli:Kök bir rasyonel sayı olduğunda kökün tam olduğunu söyleriz; aksi takdirde kök kesin değildir. Yukarıdaki örnekte, aranan kökün bulunduğu tam kökler arasında bir aralık belirliyoruz:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Bu strateji bir kökün yaklaşıklıklarını hesaplamak için çok kullanışlıdır.
Radikallerle yapılan işlemler
Köklü işlemlerde aynı indekse sahip terimleri kullanırız. Bunu göz önünde bulundurarak aşağıdaki bilgileri dikkatlice okuyunuz.
→ Radikaller arasında toplama ve çıkarma
Radikaller arasındaki toplama veya çıkarmayı çözmek için her radikalin kökünü ayrı ayrı hesaplamamız gerekir.
Örnekler:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Önemli: Toplama ve çıkarma işlemleriyle radikallerin çalıştırılması mümkün değildir. Örneğin, işlemin \(\sqrt4+\sqrt9\) farklı sayıda sonuç verir \(\sqrt{13}\), olsa bile \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Radikaller arasında çarpma ve bölme
Radikaller arasındaki çarpma veya bölme işlemini çözmek için her radikalin kökünü ayrı ayrı hesaplayabiliriz, ancak aşağıda göreceğimiz ışınım özelliklerini de kullanabiliriz.
Örnekler:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Radyasyonun özellikleri nelerdir?
→ Radyasyonun Özelliği 1
Eğer y pozitif bir sayı ise, o zaman n'inci kök \(y^n\) y'ye eşittir.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Örneğe bakın:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Bu özellik genellikle köklü ifadeleri basitleştirmek için kullanılır.
→ Radyasyonun Özelliği 2
Çarpımın n'inci kökü \(y⋅z\) y ve z'nin n'inci köklerinin çarpımına eşittir.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Örneğe bakın:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Önemli: Büyük bir sayının kökünü hesaplarken çok faydalıdır radicand'ı asal sayılara ayırın (ayırın) ve 1 ve 2 numaralı özellikleri uygulayın. Hesaplamak istediğimiz aşağıdaki örneğe bakın \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Bunun gibi,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Özellik 3köklenme
Bölümün n'inci kökü \(\frac{y}z\), ile \(z≠0\), y ve z'nin n'inci köklerinin bölümüne eşittir.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Örneğe bakın:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Radyasyonun 4. Özelliği
Y'nin n'inci kökü m üssüne yükseltildiğinde, n'inci köküne eşittir \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Örneğe bakın:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Ayrıca bakınız: Potansiyelleşmenin özellikleri nelerdir?
Radyasyonla ilgili çözülmüş alıştırmalar
Soru 1
(FGV) Basitleştirme \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), şunu elde edersiniz:
bir) 0
B) - 23
C)-43
D)-63
D)-83
Çözünürlük:
Alternatif C.
Radyasyon özelliklerini kullanarak şunu elde ettiğimizi unutmayın:
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Böylece ifadenin ifadesini şu şekilde yeniden yazabiliriz:
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Terimi koymak \(\sqrt3\) kanıtlardan şu sonuca varıyoruz
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
soru 2
(Cefet) 0,75 sayısını hangi sayıyla çarpmamız gerekiyor ki çarpımın karekökü 45 olsun?
bir) 2700
B) 2800
C) 2900
3000
Çözünürlük:
Alternatif A.
Aranan sayı x'tir. Yani açıklamaya göre;
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Öyleyse,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
