A kimlik matrisi özel bir tür Merkez. Kimlik matrisi I olarak biliyoruzN köşegen üzerindeki tüm terimleri 1'e ve ana köşegene ait olmayan terimleri 0'a eşit olan n mertebesinden kare matris. Kimlik matrisi, çarpmanın nötr unsuru olarak kabul edilir, yani bir matrisi çarparsak M kimlik matrisi ile sonuç olarak matrisin kendisini buluruz M.
Şuna da bakın: Bir matrisin determinantı nedir?
Kimlik matrisi hakkında özet
Kimlik matrisi, ana köşegen üzerindeki elemanları 1'e ve diğer elemanları 0'a eşit olan kare matristir.
Farklı dereceden kimlik matrisleri vardır. Siparişin kimlik matrisini temsil ediyoruz N ben tarafından N.
Kimlik matrisi, matris çarpımının nötr elemanıdır, yani, \( A\cdot I_n=A.\)
Bir kare matrisin ve onun ters matrisinin ürünü, birim matristir.
birim matris nedir?
Kimlik matrisi bir özel tip kare matris. Bir kare matris, ana köşegen üzerindeki tüm öğeleri 1'e ve diğer tüm öğeleri 0'a eşitse, kimlik matrisi olarak bilinir. Sonra, her kimlik matrisinde:
➝ Kimlik matrisi türleri
Farklı dereceden kimlik matrisleri vardır. Emir
N ben ile temsil edilirN. Diğer siparişlerin bazı matrislerini aşağıda görelim.Sıra 1 kimlik matrisi:
\(I_1=\sol[1\sağ]\)
Sıra 2 kimlik matrisi:
\(I_2=\left[\begin{matris}1&0\\0&1\\\end{matris}\sağ]\)
Sıra 3 kimlik matrisi:
\(I_3=\left[\begin{matris}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matris}\sağ]\)
Sıra 4 kimlik matrisi:
\(I_4=\left[\begin{matris}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matris}\sağ]\)
Sıra 5 kimlik matrisi:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Art arda, farklı mertebelerde kimlik matrisleri yazabiliriz.
Kimlik matrisi özellikleri
Kimlik matrisi, matrisler arasındaki çarpmanın nötr elemanı olduğundan, önemli bir özelliğe sahiptir. Bu şu demek kimlik matrisi ile çarpılan herhangi bir matris kendisine eşittir. Böylece, mertebenin M matrisi verildiğinde N,sahibiz:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Kimlik matrisinin bir diğer önemli özelliği ise bir kare matrisin ürünü ve ters matris kimlik matrisidir. M mertebesine sahip bir kare matris verildiğinde N, M'nin tersi ile çarpımı şu şekilde verilir:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Şunu da okuyun: Üçgen matris nedir?
Kimlik matrisinin çarpımı
Bir M matrisini mertebenin kimlik matrisiyle çarptığımızda N, sonuç olarak M matrisini elde ederiz. Aşağıda, 2. mertebeden M matrisinin 2. mertebeden kimlik matrisiyle çarpımına bir örnek görelim.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Bu \(I_n=\left(\begin{matris}1&0\\0&1\\\end{matris}\sağ)\)
Varsayalım ki:
\(A\cdot I_n=B\)
Sahibiz:
\(B\ =\left(\begin{matris}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matris}\sağ)\)
Yani A'nın çarpımı \(İçinde\) Olacak:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
B matrisinin terimlerinin A matrisinin terimleriyle aynı olduğuna dikkat edin, yani:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Örnek:
Yapı M matris \(M=\ \left[\begin{matris}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matris}\sağ]\), matris arasındaki çarpımı hesapla M ve matris \(I_3\).
Çözünürlük:
Çarpmayı gerçekleştirerek, elimizde:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matris}\sağ]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matris}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matris}\sağ]\)
Kimlik matrisi ile ilgili çözülmüş alıştırmalar
soru 1
tarafından tanımlanan 3. dereceden bir kare matris vardır. \(a_{ij}=1 \) Ne zaman \(i=j\) Bu \(a_{ij}=0\) Bu Ne zaman \(i\neq j\). Bu matris şuna benzer:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
K) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
VE) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Çözünürlük:
Alternatif D
Matrisi incelersek:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Yani, matris şuna eşittir:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
soru 2
(UEMG) Ters matris ise \(A=\left[\begin{matris}2&3\\3&x\\\end{matris}\sağ]\) é \( \left[\begin{matris}5&-3\\-3&2\\\end{matris}\sağ]\), x'in değeri:
bir) 5
B) 6
Ç) 7
D) 9
Çözünürlük:
Alternatif A
Matrisleri çarparak, çarpımlarının birim matrise eşit olduğunu anlıyoruz. Tersinin birinci sütunu ile matrisin ikinci satırının çarpımını hesaplayarak, şunu elde ederiz:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\sağ)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
kaydeden Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
