Karmaşık sayılar çalışmasında aşağıdaki eşitlikle karşılaşırız: i2 = – 1.
Bu eşitliğin gerekçesi genellikle 2. derece denklemleri negatif kareköklü çözmekle ilişkilendirilir ki bu bir hatadır. i ifadesinin kökeni2 = – 1 karmaşık sayıların tanımında yer alır, bu da bir çok şüphe uyandıran başka bir konudur. Bu eşitliğin nedenini ve nasıl ortaya çıktığını anlayalım.
İlk olarak, bazı tanımlar yapalım.
1. Sıralı bir reel sayı (x, y) çiftine karmaşık sayı denir.
2. Karmaşık sayılar (x1y1) ve (x2y2) eşittir ancak ve ancak x ise1 = x2 ve y1 = y2.
3. Karmaşık sayıların toplanması ve çarpımı şu şekilde tanımlanır:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1)*(x2y2) = (x1*x2 -y1*y2, x1*y2 + y1*x2)
Örnek 1. z'yi düşünün1 = (3, 4) ve z2 = (2, 5), z'yi hesapla1 + z2 ve z1*z2.
Çözüm:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Üçüncü tanımı kullanarak şunu göstermek kolaydır:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
Bu eşitlikler, toplama ve çarpma işlemlerine göre karmaşık sayıların (x, y) gerçek sayılar gibi davrandığını göstermektedir. Bu bağlamda aşağıdaki ilişkiyi kurabiliriz: (x, 0) = x.
Bu ilişkiyi ve i sembolünü karmaşık sayıyı (0, 1) temsil etmek için kullanarak, herhangi bir karmaşık sayıyı (x, y) aşağıdaki gibi yazabiliriz:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → bu, bir karmaşık sayının normal form çağrısıdır.
Böylece karmaşık sayı (3, 4) normal formda 3 + 4i olur.
Örnek 2. Aşağıdaki karmaşık sayıları normal biçimde yazınız.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Şimdi i'ye karmaşık sayı (0, 1) dediğimize dikkat edin. Bakalım i2 yaparken neler olacak.
i = (0, 1) olduğunu ve i olduğunu biliyoruz.2 = ben*i. Bunu takip et:
ben2 = ben*i = (0, 1)*(0, 1)
Tanım 3'ü kullanarak şunları elde ederiz:
ben2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Daha önce gördüğümüz gibi, (x, 0) = x biçimindeki her karmaşık sayı. Böylece,
ben2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Meşhur eşitliğe ulaştık i2 = – 1.
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
Marcelo Rigonatto tarafından
İstatistik ve Matematiksel Modelleme Uzmanı
Brezilya Okul Takımı
Karışık sayılar - Matematik - Brezilya Okulu
