2. derece denklemin çözümünde x2 – 6x + 9 = 0, 3'e eşit iki kök buluyoruz. Ayrışma teoremini kullanarak polinomu çarpanlara ayırır ve şunu elde ederiz:
x2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2
Bu durumda, 3'ün çokluk 2'nin kökü veya denklemin çift kökü olduğunu söylüyoruz.
Bu nedenle, çarpanlara ayrılmış bir polinom aşağıdaki ifadeyle sonuçlanırsa:
Şunu söyleyebiliriz:
x = -5, çokluğu 3 olan kök veya p (x) = 0 denkleminin üçlü köküdür
x = -4, çokluğu 2 olan kök veya p (x) = 0 denkleminin çift köküdür
x = 2, çokluğu 1 olan kök veya p (x) = 0 denkleminin basit köküdür
Genel olarak, r'nin p (x) = 0 denkleminin n ≥ 1 ile n çokluğunun bir kökü olduğunu söyleriz, eğer:
p(x)'in (x – r) ile bölünebildiğine dikkat edin.m ve q(r) ≠ 0 koşulunun, r'nin q(x)'in bir kökü olmadığı anlamına geldiği ve r kökünün çokluğunun m'den büyük olmadığını garanti ettiğidir.
Örnek 1. x denklemini çöz4 – 9x3 + 23x2 – 3x – 36 = 0, 3'ün çift kök olması koşuluyla.
Çözüm: Verilen polinom p(x) olsun. Böylece:
p(x)'in (x – 3)'e bölünmesiyle q(x)'in elde edildiğine dikkat edin.
Briot-Ruffini'nin pratik aygıtına bölerek şunu elde ederiz:
Bölmeyi yaptıktan sonra q(x) polinomunun katsayılarının 1, -3 ve -4 olduğunu görüyoruz. Böylece, q (x) = 0 olacaktır: x2 – 3x – 4 = 0
Diğer kökleri belirlemek için yukarıdaki denklemi çözelim.
x2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 veya x = 4
Bu nedenle, S = {-1, 3, 4}
Örnek 2. 2 çift kök ve – 1 tek kök olacak şekilde minimum dereceden bir cebirsel denklem yazın.
Çözüm: Yapmalıyız:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
Veya
Marcelo Rigonatto tarafından
İstatistik ve Matematiksel Modelleme Uzmanı
Brezilya Okul Takımı
polinomlar - Matematik - Brezilya Okulu
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm
