İlerlemeler: nelerdir, türleri, formülleri, örnekleri

Nasıl olduğunu biliyoruz ilerlemeler özel durumlar sayı dizileri. İki ilerleme durumu vardır:

• aritmetik ilerleme

• geometrik ilerleme

Bir ilerleme olması için, bir sebep dediğimiz şey varsa, dizinin özelliklerini analiz etmemiz gerekir. ilerleme olduğunda aritmetik, bunun nedeni, dizideki ardılını bulmak için bir terime eklediğimiz bir sabitten başka bir şey değildir; şimdi, bir ilerleme ile çalışırken geometrik, aklın benzer bir işlevi vardır, ancak bu durumda neden, ardılını bulmak için dizideki bir terimi çarptığımız sabit terimdir.

Nedeniyle öngörülebilir davranış Bir ilerlemenin, bu dizilerde herhangi bir terimi bulmak için özel formüller vardır ve ayrıca bir dizi geliştirmek de mümkündür. toplamı hesaplamak için her biri için formül (yani, biri aritmetik ve diğeri geometrik ilerleme için) itibarenHayır bu ilerlemenin ilk terimleri.

Siz de okuyun: Fonksiyonlar - bunlar ne ve ne için?

Hasat başına fasulye miktarı geometrik bir ilerleme gibi davranır

sayı dizisi

İlerlemelerin ne olduğunu anlamak için önce ne olduklarını anlamamız gerekir.

sayı dizileri. Adından da anlaşılacağı gibi, a sayı dizisini biliyoruz. bir sıraya uyan, iyi tanımlanmış veya tanımlanmamış sayılar kümesi. aksine setler sıranın önemli olmadığı sayısal bir dizide, sıra önemlidir, örneğin:

(1, 2, 3, 4, 5) dizisi (5, 4, 3, 2, 1) dizisinden farklıdır, bu da (1, 5, 4, 3, 2) dizisinden farklıdır. Elementler aynı olsa bile, sıralama farklı olduğu için farklı dizilerimiz var.

Örnekler:

Oluşumları kolayca görülebilen diziler yazabiliriz:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → 12'den küçük veya 12'ye eşit çift sayı dizisi.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → 17'den 5'e kadar olan tek sayıların gerileyen dizisi.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → olarak bilinir Fibonacci Dizisi.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → Bu diziyi diğerleri gibi tarif etmek mümkün olmasa da sonraki terimlerinin ne olacağını tahmin etmek kolaydır.

Diğer durumlarda, diziler değerlerinde toplam rastgeleliğe sahip olabilirher neyse, bir dizi olmak için önemli olan bir dizi sıralı değere sahip olmaktır.

1'e; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

B harfindeki sonraki terimlerin kim olduğunu tahmin etmek her ne kadar mümkün olmasa da bir devam filmi üzerinde çalışıyoruz.

Genel olarak, dizeler her zaman parantez ( ) içinde gösterilir, Aşağıdaki şekilde:

(₁, bir₂,₃, bir₄,₅, bir₆, bir₇, bir₈ …) → sonsuz dizi

(₁, bir₂,₃, bir₄,₅, bir₆, bir₇, bir₈ … bir_Hayır) → sonlu dizi

Her ikisinde de aşağıdaki temsile sahibiz:

₁ → ilk terim

₂ → ikinci terim

₃ → üçüncü terim

.

.

.

_Hayır → n. terim

Gözlem: Bir diziyi temsil ederken verilerin parantez içine alınması çok önemlidir. Dizi gösterimi genellikle küme gösterimi ile karıştırılır. Bir küme parantez içinde gösterilir ve kümede sıra önemli değildir, bu da bu durumda tüm farkı yaratır.

(1, 2, 3, 4, 5) → dizi

{1, 2, 3, 4, 5} → ayarla

İlerleme olarak bilinen belirli dizi durumları vardır.

Ayrıca bakınız: Saymanın temel ilkesi nedir?

ilerlemeler nelerdir?

Bir dizi, bir ilerlemeye sahip olduğunda bir ilerleme olarak tanımlanır. bir terimden diğerine düzenlilik, nedeni olarak bilinir. İki ilerleme durumu vardır, aritmetik ilerleme ve geometrik ilerleme. Her birini nasıl ayırt edeceğimizi bilmek için, bir ilerlemenin sebebinin ne olduğunu ve bu sebebin dizinin terimleriyle nasıl etkileşime girdiğini anlamamız gerekir.

Dizideki bir terimden diğerine geçtiğinde, sabit toplam, bu dizi bir ilerleme olarak tanımlanır ve bu durumda bir aritmetik ilerleme. Sürekli topladığımız bu değere oran denir. Diğer durum, yani dizi bir geometrik ilerleme, bir terimden diğerine bir sabit bir değerle çarpma. Benzer şekilde, bu değer geometrik ilerlemenin oranıdır.

Örnekler:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → bir terimden diğerine her zaman 3 eklediğimize dikkat edin, bu nedenle oranın aritmetik ilerlemesi 3'e eşit.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → bu durumda bir terimden diğerine her zaman 10 ile çarpıyoruz, 10 oranındaki geometrik ilerleme ile uğraşıyoruz.

c) (0, 2, 8, 26 …) → ikinci durumda sadece bir dizi vardır. Bir sonraki terimi bulmak için terimi 3 ile çarpar ve 2 ekleriz. Bu durum, sonraki terimleri bulmak için bir düzenlilik olsa da, sadece bir dizidir, aritmetik veya geometrik bir ilerleme değil.

aritmetik ilerleme

Sayı dizileriyle çalıştığımızda, sonraki terimlerini tahmin edebileceğimiz diziler oldukça tekrarlayıcıdır. Bu dizinin bir dizi olarak sınıflandırılması için aritmetik ilerleme, olması gereken bir sebep bir. İlk terimden sonraki terim, nedeni ile önceki terimin toplamı ile inşa r.

Örnekler:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

Bu, aritmetik ilerleme olarak sınıflandırılabilecek bir dizidir, çünkü nedeni r = 3 ve ilk terim 4'tür.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)

Bu dizi, iyi bir nedeni olan aritmetik bir ilerlemedir. r = -5 ve ilk terimi 7'dir.

• Bir PA'nın Şartları

Çoğu durumda ilgimiz, dizinin tamamını yazmak zorunda kalmadan ilerlemede belirli bir terim bulmaktır. İlk terimin değerini ve oranını bilerek, herhangi bir terimin değerini aritmetik bir dizide bulmak mümkündür. Bir arimetik ilerlemenin terimlerini bulmak için şu formülü kullanırız:

_Hayır =₁+ (n - 1)r

Misal:

Oranı 3 ve ilk terimi 12 olan bir P.A'nın 25. terimini bulun.

Veri r = 3,₁ = 12. 25. terimi, yani n = 25'i bulmak istiyoruz.

_Hayır =₁+ (n - 1)r

₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

₂₅ = 12 + 24 · 3

₂₅ = 12 + 72

₂₅ = 84

• Bir P.A.'nın genel terimi

Genel terim formülü bir bir AP teriminin formülünü basitleştirmenin yolu herhangi bir ilerleme terimini daha hızlı bulmak için. İlk terim ve neden bilindikten sonra, yalnızca değerine bağlı olan aritmetik ilerlemenin genel terimini bulmak için, bir P.A. terimini formülde yerine koymak yeterlidir. Hayır.

Misal:

olan bir P.A.'nın genel terimini bulun. r = 3 ve₁ = 2.

_Hayır = 2 + (n -1) r

_Hayır = 2 + (n -1) 3

_Hayır = 2 + 3n – 3

_Hayır = 2n - 1

Bu, bu ilerlemede herhangi bir terimi bulmaya hizmet eden bir P.A.'nın genel terimidir.

• PA terimlerinin toplamı

bu PA terimlerinin toplamı terimlerinin her birini bulup toplamak gerekirse oldukça zahmetli olurdu. Hepsinin toplamını hesaplamak için bir formül var. Hayır aritmetik bir ilerlemenin ilk terimleri:

Misal:

1'den 100'e kadar olan tüm tek sayıların toplamını bulun.

Tek sayıların oran 2'nin aritmetik ilerlemesi olduğunu biliyoruz: (1, 3, 5, 7…99). Bu dizide 50 terim vardır, çünkü 1'den 100'e kadar sayıların yarısı çift, diğer yarısı tektir.

Bu nedenle, şunları yapmalıyız:

sayı = 50

₁ = 1

_Hayır = 99

Ayrıca erişim: 1. derece işlev - aritmetik ilerlemenin pratik kullanımı

Geometrik ilerleme

Bir dize olarak da sınıflandırılabilir prsaldırganlık geometrik (PG). Bir dizinin geometrik dizi olması için bir nedeni olması gerekir, ancak bu durumda ilk terimden sonraki terimi bulmak için oranın önceki terimle çarpımı.

Örnekler:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → 2 oranının geometrik ilerlemesi ve ilk terimi 3'tür.

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → 10 oranının geometrik ilerlemesi ve ilk terimi 20'dir.

• PG'nin Süresi

Geometrik bir ilerlemede, mektubun nedenini temsil ediyoruz. ne. Geometrik bir ilerlemenin terimi şu formülle bulunabilir:

_Hayır =₁ · ne^{n - 1}

Misal:

Bunu bilerek, bir PG'nin 10. terimini bulun ne = 2 ve₁ = 5.

_Hayır =₁ · ne^{n - 1}

₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

₁₀ = 5 · 2⁹

₁₀ = 5 · 512

₁₀ = 2560

• Bir PG'nin genel terimi

İlk terimi ve nedenini bildiğimizde, genel terim formülünü yalnızca değerine bağlı olan bir geometrik diziden üretmek mümkündür. Hayır. Bunu yapmak için, sadece ilk terimi ve oranı değiştirmemiz gerekiyor ve sadece değerine bağlı olan bir denklem bulacağız. Hayır.

Oranın 2 ve ilk terimin 5 olduğu önceki örneği kullanarak, bu GP için genel terim:

_Hayır =₁ · ne^{n - 1}

_Hayır = 5 · 2^{n - 1}

• Bir PG'nin terimlerinin toplamı

Bir ilerlemenin tüm şartlarını eklemek çok fazla iş olurdu. Çoğu durumda, bu toplamı gerçekleştirmek için tüm diziyi yazmak zaman alıcıdır. Bu hesaplamayı kolaylaştırmak için geometrik ilerleme, aşağıdakileri hesaplamaya yarayan bir formüle sahiptir. toplamı Hayır ilk elementler sonlu bir PG'nin:

Misal:

GP'nin ilk 10 teriminin (1, 2, 4, 8, 16, 32 …) toplamını bulun.

Bu PG'nin oranının 2'ye eşit olduğuna dikkat edin.

₁ = 1

ne = 2

Hayır = 10

Siz de okuyun: Üstel fonksiyon - geometrik ilerlemenin pratik kullanımı

Alıştırmalar çözüldü

Soru 1 - Bilim adamları tarafından birkaç gün boyunca belirli bir bakteri kültürü gözlemleniyor. Bunlardan biri bu popülasyonun büyümesini analiz ediyor ve ilk gün 100 bakteri olduğunu fark etti; ikincisinde, 300 bakteri; üçüncü, 900 bakteri vb. Bu diziyi analiz ederek şunu söyleyebiliriz:

A) 200 oranının aritmetik ilerlemesi.

B) oran 200'ün geometrik ilerlemesi.

C) neden 3'ün arimetik ilerlemesi.

D) oran 3'ün geometrik ilerlemesi.

E) bir dizi, ancak bir ilerleme değil.

çözüm

Alternatif D.

Diziyi analiz ederek, şu terimlere sahibiz:

900/300 = 3 ve 300/100 = 3 olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, ilk terimden üç ile çarptığımız için, oran 3 olan bir PG ile çalışıyoruz.

Soru 2 - (Enem – PPL) Koşuya yeni başlayanlar için aşağıdaki günlük antrenman planı şart koşulmuştur: ilk gün 300 metre koş ve ikinci günden itibaren günde 200 metre koş. Performansını saymak için, antrenmanda katedilen mesafeyi ölçmek için spor ayakkabısına takılı bir çip kullanacak. Bu çipin hafızasında maksimum 9,5 km'lik koşu/yürüyüş kaydettiğini ve antrenmanın başında yerleştirilip veri rezerv alanı tükendikten sonra atılması gerektiğini düşünün. Bu sporcu antrenmanın ilk gününden itibaren çipi kullanırsa, bu çip o günlük antrenman planının kilometresini art arda kaç gün boyunca saklayabilir?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

çözüm

Alternatif B.

Durumu analiz ederek, 200'lük bir nedene ve 300'e eşit bir başlangıç ​​​​bitişine sahip bir PA'mız olduğunu biliyoruz.

Ayrıca, toplamın S olduğunu biliyoruz._Hayır = 9,5 km = 9500 metre.

Bu verilerle a terimini bulalım._Hayır, depolamanın son gününde kaydedilen kilometre sayısıdır.

Ayrıca herhangi bir terimin a olduğunu hatırlamakta fayda var._Hayır şu şekilde yazılabilir:

_Hayır =₁ + (n - 1)r

200n² + 400n – 19000 = 0 denklemi verildiğinde, denklemi sadeleştirerek ve n² + 2n – 95 = 0'ı bularak tüm terimleri 200'e bölebiliriz.

Delta ve Bhaskara için şunları yapmalıyız:

bir = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

8.75'in 8 gün ve birkaç saate tekabül ettiğini biliyoruz. Bu durumda ölçümün yapılabileceği gün sayısı 8'dir.

Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni

Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm