Faktöriyel: nedir, nasıl çözülür, basitleştirme

hesapla faktöriyel Bir sayının ifadesi yalnızca doğal sayılarla çalışırken anlamlıdır. Bu işlem oldukça yaygın kombinatoryal analiz, düzenlemelerin, permütasyonların, kombinasyonların ve saymayı içeren diğer problemlerin hesaplanmasını kolaylaştırır. faktöriyel “!” sembolü ile gösterilir. n olarak tanımlıyoruz! (n faktöriyel) n'nin tüm öncülleriyle çarpımı 1'e ulaşana kadar. Hayır! = n · (n – 1)· (n – 2) · … · 3 · 2 · 1.

Siz de okuyun: Saymanın temel ilkesi - kombinatoryal analizin ana konsepti

faktöriyel nedir?

Faktöriyel, kombinatoryal analizin çalışılması ve geliştirilmesi için çok önemli bir işlemdir. Matematikte, ardından gelen sayı ünlem işareti (!) faktöriyel olarak bilinir, örneğin x! (x faktöriyel).

Faktöriyel olarak biliyoruz doğal sayı bu sayıyı sıfır hariç öncekilerle çarparak, yani:

Hayır! = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1


Dikkat çekicidir ki, bu işlemin mantıklı olması için, n bir doğal sayıdıryani, negatif bir sayının, hatta bir ondalık sayının veya kesirlerin faktöriyelini hesaplamıyoruz.

Bir doğal sayı n'nin faktöriyeli, n'nin kendisinden önceki sayılarla çarpımıdır.
Bir doğal sayı n'nin faktöriyeli, n'nin kendisinden önceki sayılarla çarpımıdır.

faktöriyel hesaplama

Bir sayının faktöriyelini bulmak için çarpımını hesaplamanız yeterlidir. Ayrıca faktöriyelin bir işlem olduğuna dikkat edin. n değerini arttır, sonuç da çok artacaktır.

Örnekler:

  • 4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24

  • 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120

  • 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

  • 7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

Tanım olarak, elimizde:

0! = 1
1! = 1

faktöriyel işlemler

Faktöriyel işlemleri çözmek için hata yapmamaya dikkat etmek önemlidir. İki faktöriyel toplama, çıkarma veya çarpma işlemi yapacağımız zaman her birini ayrı ayrı hesaplamak gerekir. Yalnızca bölme, sadeleştirmeleri gerçekleştirmek için belirli yöntemlere sahiptir. İşlemi yapma ve faktöriyel tutma hatasına düşmeyin., ya toplama ve çıkarma ya da çarpma için.

  • 2! + 3! ≠ 5!

  • 4! · 2! ≠ 12!

  • 7! – 5! ≠ 2!

Bu işlemlerden herhangi birini çözerken, faktöriyellerin her birini hesaplamamız gerekir.

Örnekler:

a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8

b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.

c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.

Ayrıca bakınız: Faktöriyel ile denklem nasıl çözülür?

faktöriyel sadeleştirme

Bölümler oldukça tekrarlayıcıdır. formüllerinde kombinasyon, düzenleme ve tekrarlı permütasyon, faktöriyel içeren problemleri çözmek için her zaman basitleştirmeye başvuracağız. Bunun için birkaç adımı takip edelim.

Misal:

1. adım: Faktöriyellerin en büyüğünü tanımlayın - bu durumda, 8! Şimdi, payda olan 5!'e bakarak, 5'e ulaşana kadar 8'in öncekilerle çarpımını yazalım!

Bir n sayısının faktöriyeli, yani n!, n'nin k!'ye çarpımı olarak yeniden yazılabilir. Böylece,

Hayır! = n·(n -1 ) · (n- 2 ) · … · k!, öyleyse 8'i yeniden yazalım! 8'den 5'e çarpma gibi!.

8! = 8 · 7 · 6 · 5!

O halde sebebi şu şekilde yeniden yazalım:

2. adım: yeniden yazdıktan sonra sebep, 5'ten beri paydayı payda ile sadeleştirmek mümkündür! hem payda hem de paydada bulunur. Sadeleştirmeden sonra, çarpma işlemini gerçekleştirmeniz yeterlidir.

Örnek 2:

Kombinatoryal ve Faktör Analizi

gerçekleştirirken Kombinatoryal analizde daha fazla çalışma, bir sayının faktöriyeli her zaman görünecektir. Kombinatoryal analizdeki temel gruplamalar olan permütasyon, kombinasyon ve düzenleme, formüllerinde bir sayının faktöriyelini kullanır.

  • permütasyon

bu permütasyon ve Bir kümenin tüm öğelerini yeniden sıralamak. Bir permütasyonu hesaplamak için, n elemanın permütasyonu şu şekilde hesaplandığından, faktöriyere başvururuz:

PHayır = n!

Misal:

Kaç anagramlar HEITOR adıyla inşa edebilir miyiz?

Bu tipik bir permütasyon problemidir. İsimde 6 harf olduğu için olası anagram sayısını hesaplamak için sadece P'yi hesaplayın.6.

P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Ayrıca erişim: Tekrarlanan elementlerle permütasyon: nasıl çözülür?

  • düzenlemeler

Hesaplamak düzenlemeler ayrıca bir sayının faktöriyelinde uzmanlaşmayı gerektirir. Düzenleme, permütasyon gibi, bir yeniden düzenlemenin oluşumudur. Fark şu ki, düzenlemede, setin bir kısmını yeniden düzenliyoruzyani, birin k miktarını seçerek kaç tane olası yeniden sıralama oluşturabileceğimizi bilmek istiyoruz. Ayarlamak n elemanları ile.

Misal:

Bir şirkette kurumu yönetmek için 6 aday bulunur ve müdür ve müdür yardımcısı pozisyonları için iki kişi seçilecektir. Oylama ile seçileceklerini bilerek, kaç olası sonuç var?

Bu durumda, iki boş pozisyon için 6 aday olduğu için 2'den 2'ye alınan 6'lık düzenlemeyi hesaplayacağız.

  • kombinasyon

Kombinasyonda, diğerlerinde olduğu gibi, bir sayının faktöriyeline hakim olmak gerekir. Kombinasyon olarak tanımlıyoruz sen bir kümenin alt kümeleri. Aradaki fark, kombinasyonda yeniden sıralama olmamasıdır, çünkü sıra önemli değil. Böylece n elemanlı bir kümede k elemanlı kaç alt küme oluşturabileceğimizi hesaplıyoruz.

Misal:

Sınıfı temsil etmek üzere 3 kişilik bir komite seçilecektir. 5 aday olduğu bilindiğine göre kaç tane komite oluşturulabilir?

Siz de okuyun: Düzenleme mi, kombinasyon mu?

Alıştırmalar çözüldü

Soru 1 - Bir sayının faktöriyeli hakkında aşağıdaki ifadeleri değerlendirin.

BEN). 0! + 1! = 2

II). 5! - 3! = 2!

III) 2! · 4! = 8

A) Sadece ben doğrudur.

B) Yalnız II doğrudur.

C) Sadece III doğrudur.

D) Sadece I ve II doğrudur.

E) Sadece II ve II doğrudur.

çözüm
Alternatif A.

Haklıyım.

0! = 1

1! = 1

0! + 1! = 1+1 = 2

II) Yanlış.

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120

3! = 3 · 2 · 1 = 6

5! – 3! = 120 – 6 = 114

III) Yanlış.

2! = 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24

Soru 2 - (UFF) Ürün 20 · 18 · 16 ·14 … · 6 · 4 · 2 eşdeğer mi?

A) 20:2

B) 2·10!

C) 20:210

D) 210· 10!

E) 20!: 10!

çözüm

Alternatif D.

2'den 20'ye kadar olan tüm çift sayıların çarpımına baktığımızda şunu biliyoruz:

20 = 2 · 10

18 = 2 · 9

16 = 2 · 8

14 = 2 · 7

12 = 2 · 6

10 = 2 · 5

8 = 2 · 4

6 = 2 · 3

4 = 2 · 2

2 = 2 · 1

Yani 2 olarak yeniden yazabiliriz10 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!

Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni

Not: Alerji Belirtilerini Yönetmek İçin İlaç Dışı Seçenekler

İlaç dışı tedaviler, bazı kronik veya akut hastalıkların tedavisinde önemli müttefikler olabilir....

read more

Bir LoL oyuncusu ne kadar kazanır?

Başlamak için, belki de birçoğu kısaltmanın ne olduğunu bilmiyor. Yüksek sesle gülmek araç. Bu ne...

read more

Mükemmel anne kavramı nedir? 'Z Kuşağı'nın vizyonu farklı

kavramı mükemmel anne, ne yazık ki, toplumda hala çok güncel bir sorundur. Nesiller söz konusu ol...

read more