Sen Karışık sayılar çözme ihtiyacından doğar denklemler olduğu negatif sayı kökü, o zamana kadar gerçek sayılarla çalışarak çözmek mümkün değildi. Karmaşık sayılar üç şekilde temsil edilebilir: a cebirsel form (z = bir + iki), gerçek bir bölümden oluşur ve hayali bir bölüm B; geometrik form, Argand-Gauss düzlemi olarak da bilinen karmaşık düzlemde temsil edilir; ve seninki trigonometrik form, polar form olarak da bilinir. Sayısal bir kümeyle çalıştığımız için, temsillerine dayanarak, karmaşık sayıların iyi tanımlanmış işlemleri vardır: toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve potansiyalizasyon.
Karmaşık düzlemdeki geometrik gösterim yoluyla, modülü de tanımlarız (şu ile temsil edilir: |z|) karmaşık sayının - bu, karmaşık sayıyı temsil eden noktadan orijine olan mesafedir - ve bir argümanın argümanı nedir? karmaşık sayı — yatay eksen ile orijini sayıyı temsil eden noktaya bağlayan iz arasında oluşan açıdır. karmaşık.
karmaşık sayılara ihtiyaç
Matematikte, tarih boyunca sayısal bir kümenin yeni bir kümeye genişletilmesi oldukça yaygın bir şeydi. Bu süreçte matematiğin geliştiği ve daha sonra
zamanın ihtiyaçlarını karşılamak, atıfta bulunduğu sayısal kümeye ait olmayan sayıların olduğu fark edildi. ortaya çıkmasıyla böyle oldu sayısal kümeler tamsayılar, rasyoneller, irrasyoneller ve gerçekler ve gerçek sayılar kümesini karmaşık sayılar kümesine genişletmeye ihtiyaç duyulduğunda farklı değildi.çözmeye çalıştığımızda ikinci dereceden denklemlerbulmamız oldukça yaygındır. negatif bir sayının kareköküGerçek sayılar kümesinde çözülmesi imkansız olan karmaşık sayılara ihtiyaç vardır. Bu sayıların araştırılmasının başlangıcı Giralmo Cardono gibi önemli matematikçilerden katkılar aldı, ancak kümeleri Gauss ve Argand tarafından resmileştirildi.
Siz de okuyun: Karmaşık sayıların toplamının geometrik gösterimi
karmaşık sayının cebirsel formu
x² = –25 gibi ikinci dereceden bir denklemi çözmeye çalışırken, genellikle bunun çözülemez olduğu söylenirdi. Bununla birlikte, cebirselleştirme girişiminde, bu sayılarla işlem yapmayı mümkün kılan cebirsel gösterim, negatif bir sayının karekökünü hesaplayamasanız bile.
Birlikte çalıştığınız durumların çözümünü kolaylaştırmak için kare kök negatif bir sayının hayali birim.
Yani, x² = -25 sunulan denklemi analiz ederek, şunu elde ederiz:
Böylece denklemin çözümleri -5'tir.ben e5ben.
Cebirsel formu tanımlamak için, mektup ben, olarak bilinir karmaşık sayının sanal birimi. Karmaşık bir sayı şu şekilde temsil edilir:
z = + Bben
Ne üzerine ve B gerçek sayılardır.
bu: a = Re (z) ile gösterilen reel kısım;
B: Im (z) ile gösterilen hayali kısım;
ben: hayali birim.
Örnekler
) 2 + 3ben
B) -1 + 4ben
ç) 5 – 0,2ben
d) -1 – 3ben
ne zaman gerçek kısım boş, sayı olarak bilinir saf hayali, örneğin, -5ben ve 5ben gerçek bir parçaları olmadığı için saf hayal ürünüdürler.
Sanal kısım sıfır olduğunda, karmaşık sayı da gerçek bir sayıdır.
Karmaşık sayılarla işlemler
Herhangi bir sayısal küme gibi, işlemler de iyi tanımlanmışbu nedenle, sunulan cebirsel formu dikkate alarak karmaşık sayıların dört temel işlemini gerçekleştirmek mümkündür.
İki karmaşık sayı ekleme
gerçekleştirmek için ilave iki karmaşık sayı z1 ez2, z'nin gerçek kısmını ekleyeceğiz1 ez2 ve sırasıyla sanal kısmın toplamı.
Ol:
z1 = bir + bben
z2 = c + dben
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)ben
örnek 1
z toplamının gerçekleştirilmesi1 ve z2.
z1 = 2 + 3ben
z2 = 1 + 2ben
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)ben
z1 +z2= 3 + 5ben
Örnek 2
z toplamının gerçekleştirilmesi1 ve z2.
z1 = 5 – 2ben
z2 = – 3 + 2ben
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)ben
z1+z2 = (5 – 3) + 0ben
z1 +z2= 3 + 0ben = 3
Ayrıca bakınız: Karmaşık sayıların toplamının geometrik gösterimi
İki karmaşık sayının çıkarılması
hakkında konuşmadan önce çıkarmane olduğunu tanımlamamız gerekiyor. karmaşık sayının tersi, yani, z = a + bben. –z ile temsil edilen z'nin tersi, –z = –a –b karmaşık sayısıdırben.
z arasında çıkarma yapmak için1ve -z2ek olarak, yapacağımız gerçek parçalar arasında ve hayali parçalar arasında ayrı ayrı çıkarma, ancak şunu anlamak gerekir -z2 işaret oyununu oynamayı gerekli kılan karmaşık bir sayının tersidir.
örnek 1
z çıkarma işlemini gerçekleştirme1 ve z2.
z1 = 2 + 3ben
z2 = 1 + 2ben
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)ben
z1–z2= 1 + 1ben = 1+ ben
Örnek 2
z çıkarma işlemini gerçekleştirme1 ve z2.
z1= 5 – 2ben
z2 = – 3 + 2ben
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)ben
z1–z2= (5 + 3) + (–4)ben
z1 –z2= 8 + (–4)ben
z1 –z2= 8 –4ben
Hayali Birim Güçleri
Çarpma hakkında konuşmadan önce, hayali birimin gücünü anlamamız gerekir. güçlerini hesaplamak için bir yöntem arayışında benHayır, bu güçlerin döngüsel bir şekilde davrandığını anlamak gerekir. Bunun için biraz hesaplayalım güçler içinde ben.
Bir sonraki güçlerin tekrarından başka bir şey olmadığı ortaya çıktı, şunu unutmayın:
ben 4 = ben 2 · ben 2 = (–1) (–1) = 1
ben 5 = ben 2 · ben 3 = (–1) (–ben) = ben
Kuvvetleri hesaplamaya devam ettikçe, cevaplar her zaman {1,i,–1,– kümesinin elemanları olacaktır.ben}, ardından birimin gücünü bulmak için benHayır, n'yi (üs) 4'e böleceğiz ve dinlenmebu bölümün (r = { 0, 1, 2, 3}) ifadesinin yeni üssü olacak ben.
Misal1
i'nin hesaplanması25
25'i 4'e böldüğümüzde, bölüm 6 ve kalan 1'e eşit olacaktır. Bu yüzden şunları yapmalıyız:
ben 25 = ben1 = ben
Örnek 2
Hesaplama ben 403
403'ü 4'e böldüğümüzde, bölüm 100 olacaktır, çünkü 100 · 4 = 400 ve geri kalanı 3 olacaktır, bu yüzden şunu yapmalıyız:
ben 403 =ben 3 = -ben
karmaşık sayıların çarpımı
İki karmaşık sayının çarpımını gerçekleştirmek için dağılma özelliği. Ol:
z1= bir + bben
z2= c + dben, ardından ürün:
z1 · z2 = (a + bben) (c + dben), dağılma özelliğinin uygulanması,
z1 · z2 = ac + reklamben + cbben + bdben 2, ama gördüğümüz gibi, ben ² = -1
z1 · z2 = ac + reklamben + cbben - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (reklam + cb)ben
Bu formülü kullanarak herhangi iki karmaşık sayının çarpımını bulmak mümkündür, ancak Genel olarak, dekore edilmesine gerek yoktur, çünkü söz konusu hesaplama için sadece mülkü uygularız. dağıtıcı.
Misal
(2+3) çarpımının hesaplanmasıben) (1 – 4ben):
(2+3ben) (1 – 4ben) = 2 – 8ben + 3ben– 12ben ² bunu hatırlayarak i² = -1:
(2 + 3ben) (1 – 4ben) = 2 – 8ben + 3ben+ 12
(2 + 3ben) (1 – 4ben) = (2 + 12) + (– 8 + 3)ben
(2+3ben) (1 – 4ben) = 14 – 5ben
Ayrıca erişim: Karmaşık sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma
Karmaşık sayı eşleniği
Bölme hakkında konuşmadan önce, karmaşık sayının eşleniğinin ne olduğunu anlamamız gerekir. Kavram basittir, karmaşık bir sayının eşleniğini bulmak, sadece değiş tokuş yapmakmos hayali kısmın işareti.
iki karmaşık sayının bölünmesi
gerçekleştirmek için iki karmaşık sayının bölünmesi, kesri paydanın eşleniği ile çarpmamız gerekir, böylece gerçek kısım ve hayali kısım iyi tanımlanmış olur.
Misal
(6 - 4) bölümünün hesaplanmasıben): (4 + 2ben)
Ayrıca bakınız: Karmaşık sayıların zıttı, eşleniği ve eşitliği
Karmaşık düzlem veya Argand-Gauss düzlemi
Karmaşık plan olarak bilinen veya Bir plangand-gauss, o izin verir geometrik formda temsil karmaşık bir sayının, bu plan bir uyarlamadır. kartezyen düzlem karmaşık sayıları temsil eder. Yatay eksen olarak bilinir reel kısım ekseni Re(z), ve dikey eksen olarak bilinir Im (z) sanal kısmının ekseni. Böylece temsil edilen karmaşık sayı bir + bben (a, b) sıralı ikilisinin oluşturduğu karmaşık düzlemdeki noktaları üretir.
Misal
3 + 2 sayısının temsiliben geometrik formda Z(3,2).
Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı
Bir karmaşık sayının geometrik olarak modülü, (a, b) noktasından uzaklık bu sayıyı karmaşık düzlemde temsil eden kökene, yani (0,0) noktası.
Gördüğümüz gibi, |z| hipotenüsüdür sağ üçgen, bu nedenle, uygulanarak hesaplanabilir Pisagor teoremi, bu yüzden şunları yapmalıyız:
Misal:
z = 1 + 3 modülünün hesaplanmasıben
Ö argüman bir karmaşık sayının geometrik olarak açı yatay eksen ve |z|
Açı değerini bulmak için şunları yapmalıyız:
Amaç θ = arg z açısını bulmaktır.
Misal:
Karmaşık sayı bağımsız değişkenini bulun: z = 2 + 2ben:
a ve b pozitif olduğundan, bu açının birinci kadranda olduğunu biliyoruz, öyleyse |z|'yi hesaplayalım.
|z|'yi bilerek, sinüs ve kosinüsü hesaplamak mümkündür.
Bu durumda a ve b 2'ye eşit olduğundan, sinθ'yi hesapladığımızda kosinüs için aynı çözümü bulacağız.
Dikkate değer açılar tablosuna başvurarak sinθ ve cos consulting değerlerini bilmek ve bunu bilmek θ birinci çeyreğe aittir, bu nedenle θ derece veya radyan cinsinden bulunabilir, dolayısıyla şu sonuca varırız ne:
Trigonometrik veya kutupsal form
karmaşık sayının gösterimi trigonometrik form bu ancak modül ve argüman kavramını anladıktan sonra mümkündür. Bu gösterime dayanarak, karmaşık sayıların daha ileri düzeyde incelenmesi için önemli kavramlar geliştirilmiştir. Trigonometrik gösterimi gerçekleştirmek için z = a + bi cebirsel formunu hatırlayacağız, ancak karmaşık düzlemi analiz ederken şunları yapmalıyız:
Cebirsel biçimde yerine koyarak, a = |z| çünkü θ ve b = |z| sen θ, yapmalıyız:
z = a + bben
z = |z| çünkü θ + |z| senθ ben, koyarak |z| kanıt olarak, trigonometrik formun formülüne ulaşırız:
z= |z|(çünkü θ + ben · günah θ) |
Misal: Sayıyı trigonometrik biçimde yazın
Trigonometrik biçimde yazmak için z'nin argümanına ve modülüne ihtiyacımız var.
1. adım – |z|'nin hesaplanması
|z|'yi bilerek, dikkate değer açılar tablosuna başvurarak of değerini bulmak mümkündür.
Artık z sayısını trigonometrik biçiminde açıyla derece cinsinden veya radyan cinsinden ölçülen açıyla yazmak mümkündür.
Siz de okuyun: Trigonometrik biçimde karmaşık sayıların radyasyonu
Alıştırmalar çözüldü
Soru 1 - (UFRGS) Karmaşık sayılar verildiğinde z1 = (2,–1) ve z2 = (3, x), z arasındaki çarpım biliniyor1 ve z2 gerçek bir sayıdır. Yani x eşittir:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
çözüm
Alternatif D.
Çarpımın gerçek bir sayı olması için sanal kısım sıfıra eşittir.
Bu sayıları cebirsel biçimde yazarak şunları yapmalıyız:
z1 = 2 – 1ben ve z2 = 3 + xben
z1 · z2 = (2 – 1ben) (3 + xben)
z1 · z2 = 6 + 2xben –3ben - xben ²
z1 · z2 = 6 + 2xben –3ben + x
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)ben
İlgi alanımız sanal kısım sıfır olduğu için 2x – 3 = 0 için çözeceğiz.
Soru 2 - (UECE) Eğer i karesi -1'e eşit olan karmaşık sayı ise 5 değeriben 227 + ben 6 – ben 13 şununla aynı:
) ben + 1
b) 4ben –1
c) -6ben –1
d) -6ben
çözüm
Alternatif C.
Bu ifadeyi çözmek için 4'e bölünen sayıların her birinin kalanını bulmak gerekir.
227: 4, bölüm 56 ve kalan 3 ile sonuçlanır.
ben 227 = ben 3 = –ben
6: 4, bölüm 1 ve kalan 2 ile sonuçlanır.
ben 6 = ben 2 = –1
13: 4, bölüm 3 ve kalan 1 ile sonuçlanır.
ben 13 = ben1 = ben
Bu yüzden şunları yapmalıyız:
5ben 227 + ben 6 – ben 13
5 (–ben) + (–1) – ben
–5ben –1 – ben
–6ben – 1
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
