hiperbol nedir?
Tanım: F1 ve F2 düzlemde iki nokta ve aralarındaki uzaklık 2c olsun, hiperbol kümedir. F1 ve F2'ye olan uzaklıkların farkı (modülde) 2a sabiti (0 < 2a < 2c) olan düzlemdeki noktaların toplamı.
Bir Abartının Unsurları:
F1 ve F2 → hiperbolün odaklarıdır
→ hiperbolün merkezidir
2c → odak uzaklığı
2. → gerçek veya enine eksen ölçümü
2b → hayali eksen ölçümü
c/a → eksantriklik
a, b ve c → c arasında bir ilişki vardır2 =2 + b2
İndirgenmiş hiperbol denklemi
1. durum: x eksenine odaklanan hiperbol.
Bu durumda odakların F1 (-c, 0) ve F2(c, 0) koordinatlarına sahip olacağı açıktır.
Böylece, merkezi Kartezyen düzlemin orijininde olan ve x eksenine odaklanan elipsin indirgenmiş denklemi şöyle olacaktır:
2. durum: y eksenine odaklanan hiperbol.
Bu durumda, odaklar F1 (0, -c) ve F2(0, c) koordinatlarına sahip olacaktır.
Böylece, merkezi Kartezyen düzlemin orijininde olan ve y eksenine odaklanan elipsin indirgenmiş denklemi şöyle olacaktır:
Örnek 1. Reel eksen 6, odakları F1(-5, 0) ve F2(5, 0) olan hiperbolün indirgenmiş denklemini bulun.
Çözüm: Yapmalıyız
2a = 6 → bir = 3
F1(-5, 0) ve F2(5, 0) → c = 5
Olağanüstü ilişkiden şunu elde ederiz:
ç2 =2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 - 9 → b2 = 16 → b = 4
Böylece, indirgenmiş denklem şu şekilde verilecektir:
Örnek 2. F2 koordinatları (0, 10) ve sanal ekseni 12 olan iki odağı olan indirgenmiş hiperbol denklemini bulun.
Çözüm: Yapmalıyız
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Olağanüstü ilişkiyi kullanarak şunları elde ederiz:
102 =2 + 62 → 100 = bir2 + 36 → bir2 = 100 - 36 → bir2 = 64 → bir = 8.
Böylece, indirgenmiş hiperbol denklemi şu şekilde verilecektir:
Örnek 3. Denklemi kullanarak hiperbolün odak uzunluğunu belirleyin
Çözüm: Hiperbol denklemi türde olduğundan
Zorundayız2 = 16 ve b2 =9
Elde ettiğimiz olağanüstü ilişkiden
ç2 = 16 + 9 → c2 = 25 → c = 5
Odak uzaklığı 2c ile verilir. Böylece,
2c = 2*5 =10
Yani odak uzaklığı 10'dur.
Marcelo Rigonatto tarafından
İstatistik ve Matematiksel Modelleme Uzmanı
Brezilya Okul Takımı
Analitik Geometri - Matematik - Brezilya Okulu