simetrik matris dır-dir Merkez her elemanın içinde \(a_{ij}\) elemana eşittir \(a_{ji}\) i ve j'nin tüm değerleri için. Sonuç olarak, her simetrik matris devrikine eşittir. Her simetrik matrisin kare olduğunu ve ana köşegenin bir simetri ekseni görevi gördüğünü de belirtmekte fayda var.
Şunu da okuyun:Matris toplama ve çıkarma - nasıl hesaplanır?
Simetrik matris hakkında özet
Simetrik bir matriste, \(a_{ij}=a_{ji}\) tüm i ve j için
Her simetrik matris karedir.
Her simetrik matris devrikine eşittir.
Simetrik bir matrisin elemanları ana köşegene göre simetriktir.
Simetrik matristeyken \(a_{ij}=a_{ji}\) tüm i ve j için; bir antisimetrik matriste, \(a_{ij}=-a_{ji}\) tüm i ve j için
Simetrik matris nedir?
simetrik bir matris burada bir kare matris \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) her i ve her j için. Bu şu demek \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), vb. i ve j'nin tüm olası değerleri için. i'nin olası değerlerinin matrisin satırlarına ve j'nin olası değerlerinin matrisin sütunlarına karşılık geldiğini unutmayın.
Simetrik matris örnekleri
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Simetrik olmayan matris örnekleri (düşünün \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Önemli: Bir matrisin simetrik olmadığını söylemek, bunu göstermek anlamına gelir. \(a_{ij}≠a_{ji}\) en azından bazı i ve j için (önceki örnekleri karşılaştırarak görebiliriz). Bu, daha sonra göreceğimiz antisimetrik matris kavramından farklıdır.
Simetrik matrisin özellikleri nelerdir?
Her simetrik matris karedir
Simetrik bir matrisin tanımının kare matrislere dayandığına dikkat edin. Böylece, her simetrik matris, sütun sayısı kadar satır sayısına sahiptir.
Her simetrik matris devrikine eşittir
A bir matris ise, devrik (\(A^T\)), satırları A'nın sütunları ve sütunları A'nın satırları olan matris olarak tanımlanır. Yani A simetrik bir matris ise, \(A=A^T\).
Simetrik matriste, elemanlar ana köşegene göre "yansıtılır"
Gibi \(a_{ij}=a_{ji}\) simetrik bir matriste, ana köşegenin üzerindeki elemanlar, aşağıdaki elemanların “yansımasıdır” diyagonal ile ilgili olarak diyagonalin (veya tersi), böylece ana diyagonal bir eksen olarak hareket eder simetri.
Simetrik matris ile antisimetrik matris arasındaki farklar nelerdir?
A simetrik bir matris ise, o zaman \(a_{ij}=a_{ji}\) Çalıştığımız gibi tüm i ve tüm j için. Antisimetrik matris durumunda durum farklıdır. B bir antisimetrik matris ise, o zaman \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) her i ve her j için.
Bunun sonuçlandığını unutmayın \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), yani, ana diyagonal elemanlar sıfırdır. Bunun bir sonucu, bir antisimetrik matrisin transpozesinin karşıtına eşit olmasıdır, yani, eğer B bir antisimetrik matris ise, o zaman \(B^T=-B\).
Antisimetrik matris örnekleri
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Şuna da bakın: Kimlik matrisi - ana köşegen elemanlarının 1'e ve geri kalan elemanların 0'a eşit olduğu matris
Simetrik matris üzerinde çözülmüş alıştırmalar
soru 1
(Tek merkezli)
eğer matris \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) simetrik olduğundan, xy'nin değeri:
A) 6
B) 4
C)2
D) 1
D) -6
Çözünürlük:
Alternatif bir
Verilen matris simetrik ise, simetrik konumlardaki elemanlar eşittir (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Bu nedenle, şunları yapmalıyız:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
İlkinin değiştirilmesi denklem ikincisinde şu sonuca varıyoruz \(y=3\), yakında:
\(x=2\) Bu \(xy=6\)
soru 2
(UFSM) Matrisin olduğunu bilmek \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) devrik değerine eşittir, değeri \(2x+y\) é:
bir)-23
-11
-1
D) 11
D) 23
Çözünürlük:
Alternatif C
Verilen matris devrikine eşit olduğu için simetrik bir matristir. Böylece simetrik konumlardaki elemanlar eşittir (\(a_{ij}=a_{ji}\)), yani:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
İlk denklemle, x=-6 veya x=6. Üçüncü denklemde doğru cevabı elde ederiz: x= -6. İkinci denklemle, y=11.
Yakında:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
kaydeden Maria Luiza Alves Rizzo
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
