A oran altın veya ilahi oran, uyum, güzellik ve mükemmellik fikirleriyle ilişkili bir eşitliktir. İskenderiyeli Öklid, MÖ 300 civarında yaşamış Yunan matematikçi. C., bugüne kadar farklı alanlardan araştırmacıların ilgisini çeken bu kavramı resmileştiren ilk düşünürlerden biridir.
Bu ilginin nedeni ise altın oranın doğada yaklaşık olarak bitkilerin tohum ve yapraklarında ve insan vücudunda gözlenebilmesidir. Sonuç olarak, altın oran biyologlar, mimarlar, sanatçılar ve tasarımcılar gibi farklı profesyonellerin çalışma konusudur.
Şunu da okuyun: Pi sayısı - matematikteki en önemli sabitlerden biri
Bu makalenin konuları
- 1 - Altın oranın özeti
- 2 - Altın sayı nasıl hesaplanır?
- 3 - Altın oran ve Fibonacci dizisi
- 4 - Altın oran ve altın dikdörtgen
-
5 - Altın oran uygulamaları
- Mimarlıkta Altın Oran
- İnsan vücudundaki altın oran
- sanatta altın oran
- Doğada altın oran
- Tasarımda Altın Oran
- 6 - Altın oran ile ilgili çözülmüş alıştırmalar
altın oran hakkında özet
altın oran oranıdır \(a>b>0\) öyle ki
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Bu koşullarda sebep buB altın oran denir.
Altın oran denge, saflık ve mükemmellik kavramlarıyla bağlantılıdır.
Yunan harfi ϕ (okuma: fi), altın orandan elde edilen sabit olan altın sayıyı temsil eder.
Fibonacci dizisinde, her terim ile selefi arasındaki bölümler altın sayıya yaklaşır.
Altın dikdörtgen, kenarları altın oranda olan bir dikdörtgendir.
Altın oran nedir?
İki parçaya bölünmüş bir çizgi parçasını düşünün: ölçü olarak daha büyük olanı bu ve en küçüğü B. bunun farkına var a+b tüm segmentin ölçüsüdür.
altın oran eşitlik sebepler arasında\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Bu \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), yani
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Bu bağlamda şunu söylüyoruz. bu Bu B altın oran içindedir.
Ama hangi değerler için bu Bu B altın orana sahip miyiz? Bundan sonra göreceğimiz şey bu.
Şimdi durma... Tanıtımdan sonra devamı var ;)
Altın sayı nasıl hesaplanır?
Nedeni \(\frac{a}b\)(veya aynı şekilde, nedeni \(\frac{a+b}a\)) altın sayı olarak adlandırılan bir sabitle sonuçlanır ve Yunanca ϕ harfi ile temsil edilir. Bu nedenle, yazmak yaygındır
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Altın sayıyı hesaplamak için b = 1 için altın oranı ele alalım. Böylece değerini kolayca bulabiliriz. bu ve ϕ olsun eşitlikten \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Çapraz çarpma özelliğini kullanarak altın oranı aşağıdaki gibi yazabileceğimize dikkat edin:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
b = 1 yerine koyarsak,
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Bhaskara'nın formülünü uygulamak bu ikinci dereceden denklem için, pozitif çözümün şu sonuca varıyoruz: bu é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Gibi bu segmentin bir ölçüsüdür, negatif çözümü dikkate almayacağız.
Nasıl \(\frac{a}b=ϕ\), Altın sayının tam değeri:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Bölümü hesaplayarak, elde ederiz Altın sayının yaklaşık değeri:
\(ϕ≈1,618033989\)
Şuna da bakın: Kesirler ile matematik işlemleri nasıl çözülür?
Altın Oran ve Fibonacci Dizisi
A Fibonacci dizisi bir sayı listesidir üçüncüden başlayarak her terim, önceki iki terimin toplamına eşittir. Bu dizinin ilk on terimine bakalım:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Bölümü hesaplarken Fibonacci dizisindeki her terim ve selefi arasında, altın sayıya yaklaşıyoruz ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)
Altın oran ve altın dikdörtgen
Bir dikdörtgen en uzun kenar nerede bu ve küçük taraf B altın oran içinde buna altın dikdörtgen denir. Altın dikdörtgene bir örnek, kenarları 1 cm ve kenarları 1 cm olan bir dikdörtgendir. \(\frac{1+\sqrt5}2\) santimetre.
Daha fazlasını öğrenin: Doğru orantılı nicelikler nelerdir?
Altın Oran Uygulamaları
Şimdiye kadar altın oranı yalnızca soyut matematiksel bağlamlarda inceledik. Daha sonra bazı uygulamalı örnekler göreceğiz, ancak dikkatli olunması gerekiyor: altın oran bu durumların hiçbirinde tam olarak sunulmuyor. Var olan, farklı bağlamların analizleridir. altın sayı öyle görünüryaklaşık.
Mimarlıkta Altın Oran
Bazı araştırmalar, altın miktarı tahminlerinin Mısır'daki Cheops Piramidi ile New York'taki BM karargah binasının boyutlarında belirli oranlarda gözlemlendiğini iddia etmektedir.
İnsan vücudundaki altın oran
İnsan vücut ölçüleri kişiden kişiye değişir ve mükemmel bir vücut tipi yoktur. Bununla birlikte, en azından Antik Yunan'dan beri, altın oranla ilgili ölçümlerle, matematiksel olarak ideal (ve gerçekte tamamen ulaşılamaz) bir beden hakkında tartışmalar olmuştur. Bu teorik bağlamda, örneğin, bir insanın boyunun göbek ile yer arasındaki uzaklığa oranı altın sayıdır.
sanatta altın oran
İtalyan Leonardo da Vinci'nin "Vitruvius Adamı" ve "Mona Lisa" adlı eserleri üzerine yapılan araştırmalar, altın dikdörtgenlerin kullanımı.
Doğada altın oran
işaret eden araştırmalar vardır. altın oran ile bazı bitkilerin yapraklarının dağılma şekli arasındaki ilişki bir sap üzerinde. Bu yaprak düzenine filotaksi denir.
Tasarımda Altın Oran
Altın oran Tasarım alanında da incelenmekte ve kullanılmaktadır. proje oluşturma aracı.
Altın oran ile ilgili çözülmüş alıştırmalar
soru 1
(Enem) Bir doğru parçası, bütün parçalardan birine, bu parçanın diğerine oranı ile aynı oranda olduğunda, altın oranda ikiye bölünmüştür. Bu orantı sabiti genellikle Yunanca ϕ harfi ile temsil edilir ve değeri ϕ2 = ϕ+1 denkleminin pozitif çözümü ile verilir.
Tıpkı güç gibi \(ϕ^2\)ϕ'nin daha yüksek güçleri şu şekilde ifade edilebilir: \(aϕ+b\), burada a ve b, tabloda gösterildiği gibi pozitif tam sayılardır.
güç \(ϕ^7\)aϕ+b şeklinde yazılır (a ve b pozitif tam sayılardır),
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Çözünürlük
Gibi \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Zorundayız
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Dağılımı uygulamak,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Gibi \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatifi.
soru 2
Altın sayı ile ilgili aşağıdaki her ifadeyi T (Doğru) veya F (Yanlış) olarak derecelendirin.
Ben. Altın sayı ϕ irrasyoneldir.
II. Fibonacci dizisindeki her terim ile öncülü arasındaki bölümler ϕ değerine yaklaşır.
III. 1.618, altın sayı ϕ'nin üç ondalık basamağa yuvarlanmasıdır.
Yukarıdan aşağıya doğru sıra,
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) G-V-V
Çözünürlük
Ben. Doğru.
II. Doğru.
III. Doğru.
Alternatif A.
kaynaklar
FRANCISCO, S.V. L.'den Altın oranın büyüsü ve gerçekliği arasında. Tez (Ulusal Ağda Matematik Alanında Profesyonel Yüksek Lisans Derecesi) – Biyobilimler, Edebiyat ve Kesin Bilimler Enstitüsü, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Sao Paulo, 2017. Uygun: http://hdl.handle.net/11449/148903.
SATIŞ, J. S.'den Doğada var olan altın oran. Ders çalışmasının tamamlanması (Matematik Derecesi), Federal Eğitim Enstitüsü, Piauí Bilim ve Teknoloji. Piauí, 2022. Uygun http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/kolu/123456789/1551.
kaydeden Maria Luiza Alves Rizzo
Matematik öğretmeni
Ne olduğunu ve ortalama hız ile nüfus yoğunluğunun nasıl hesaplanacağını anlayın.
Ne olduğunu ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için Bhaskara'nın formülünü nasıl kullanacağınızı öğrenin!
Doğru orantılı niceliklerin ne olduğunu anlayın ve bu tür ilişkileri içeren problem durumlarını nasıl çözeceğinizi öğrenin.
İki niceliğin veya sayının ters orantılı olup olmadığını nasıl belirleyeceğinizi buradan öğrenin. Konuyla ilgili örneklere ve alıştırmalara göz atın!
Burada oranın ne olduğunu ve nasıl hesaplanacağını öğrenin. Ana özelliklerine de bakın ve orantılı niceliklerin ne olduğunu anlayın.
Burada bir oranı temsil etmenin farklı yollarına bakın, ayrıca oranın tanımına ve bazı uygulamalarına bakın. Bu kavramları nasıl uygulayacağınızı öğrenin.
Bilinmeyen değerleri ve üç veya dört nicelikle ilgili sorunları bulmak için üçün bileşik kuralını kullanmayı öğrenin.
Üç kuralını bilin. Doğrudan ve ters orantılı niceliklerin ne olduğunu anlayın. Basit üç kuralı ile bileşik kural arasındaki farkı bilin.
Sayısal Diziler: Fibonacci Dizisi.
