Vektörler: ne oldukları, işlemler, uygulamalar ve alıştırmalar

Vektör, bir vektör miktarının büyüklüğünü, yönünü ve yönünü belirleyen temsildir. Vektörler, bir ucunda bir okla yönlendirilmiş düz parçalardır.

Vektörleri bir harf ve küçük bir okla adlandırıyoruz.

Vektörler, yönlendirme, yani yön ve yön gerektiren miktarlar olan vektör miktarlarını karakterize eder. Bazı örnekler şunlardır: kuvvet, hız, ivme ve yer değiştirme. Sayısal değer yeterli değildir, bu niceliklerin nerede hareket ettiğini açıklamak gerekir.

bir vektörün modülü

Vektörün modülü veya yoğunluğu, sayısal değeridir, ardından temsil ettiği büyüklüğün ölçü birimi gelir, örneğin:

İki metrelik bir modül ile uzunluğun büyüklüğünü temsil eden vektör.

Modülü, oku tutan çubuklar arasında veya sadece harfi, çubuksuz ve oksuz olarak belirtiriz.

Vektörün uzunluğu modül ile orantılıdır. Daha büyük bir vektör, daha büyük bir modülü temsil eder.

vektör modülü 4 birimdir, vektör ise 2 birimdir.

Bir Vektörün Yönü

Vektörün yönü, üzerinde belirlendiği destek çizgisinin eğimidir. Her vektör için sadece bir yön vardır.

Vektörlerin dikey, yatay ve eğik (eğik) yönleri.

bir vektör duygusu

Vektörün yönü okla gösterilir. Aynı yön, yukarı veya aşağı ve sol veya sağ gibi iki yön içerebilir.

Aynı yön, yatay ve zıt yönlere sahip vektörler.

Bir yönün pozitif, zıt yönün negatif kabul edilmesi, vektör sembolünden önce bir eksi işareti ile temsil edilir.

elde edilen vektör

Ortaya çıkan vektör, vektör işlemlerinin sonucudur ve bir dizi vektöre eşdeğerdir. Birden fazla vektör tarafından üretilen etkiyi temsil eden vektörü bilmek uygundur.

Örneğin, bir cisim bir takım kuvvetlere maruz kalabilir ve bunların bu cisim üzerinde üreteceği sonucu hep birlikte bilmek isteriz. Her kuvvet bir vektör ile temsil edilir, ancak sonuç sadece bir vektör ile temsil edilebilir: sonuç vektörü.

Elde edilen vektör, , yatay yön ve sağa doğru, vektörlerin toplama ve çıkarmalarının sonucudur. , , ve . Ortaya çıkan vektör, vücudun bu yönde hareket etme eğilimini gösterir.

Dikey yönü olan vektörler aynı boyuta, yani aynı modüle sahiptir. Zıt anlamlara sahip oldukları için birbirlerini yok ederler. Bu da sandıkta dikey yönde herhangi bir hareket olmayacağını gösterir.

Vektörleri analiz ederken ve aynı yöne ve zıt yönlere sahip olan, kuvvetin bir kısmının vektör olarak sağa "kaldığını" fark ederiz. şundan daha büyük , yani, modülü daha büyük.

Ortaya çıkan vektörü belirlemek için vektör toplama ve çıkarma işlemleri yapıyoruz.

Aynı yöne sahip vektörlerin toplanması ve çıkarılması

İle birlikte eşit duyular, modülleri ekliyoruz ve yön ve yön tutuyoruz.

Örnek:

Grafiksel olarak vektörleri modüllerini değiştirmeden sırayla yerleştiririz. Birinin başlangıcı diğerinin sonu ile örtüşmelidir.

Sıra sonucu değiştirmediği için toplamanın değişmeli özelliği geçerlidir.

İle birlikte zıt duyular, modülleri çıkarıyoruz ve yönü koruyoruz. Ortaya çıkan vektörün yönü, en büyük modüle sahip vektörün yönüdür.

Örnek:

vektör kalan kısmıdır , çekildikten sonra .

Bir vektörü çıkarmak, diğerinin tersiyle toplamaya eşdeğerdir.

Dik Vektörlerin Toplama ve Çıkarılması

Dik yönlere sahip iki vektör eklemek için, vektörleri modüllerini değiştirmeden hareket ettiririz, böylece birinin başlangıcı diğerinin sonu ile çakışır.

Ortaya çıkan vektör, birincinin başlangıcını ikincinin sonuna bağlar.

İki dik vektör arasında elde edilen vektörün büyüklüğünü belirlemek için iki vektörün başlangıcını eşleştiririz.

Elde edilen vektörün modülü Pisagor teoremi ile belirlenir.

Eğik vektörlerin toplanması ve çıkarılması

İki vektör, yönleri arasında 0°, 90° ve 180° dışında bir açı oluşturduklarında eğiktir. Eğik vektörleri toplamak veya çıkarmak için paralelkenar ve çokgen çizgi yöntemleri kullanılır.

paralelkenar yöntemi

İki vektör arasındaki paralelkenarın yöntemini veya kuralını uygulamak ve elde edilen vektörü çizmek için şu adımları izleriz:

İlk adım, kökenlerini aynı noktada konumlandırmak ve paralelkenar oluşturmak için vektörlere paralel çizgiler çizmektir.

İkincisi, paralelkenar üzerinde, vektörlerin birliği ile paralel çizgilerin birleşimi arasında bir köşegen vektör çizmektir.

Noktalı çizgiler vektörlere paraleldir ve oluşan geometrik şekil bir paralelkenardır.

Ortaya çıkan vektör, vektörlerin orijinini paralellere bağlayan çizgidir.

Ö elde edilen vektörün modülü Kosinüs Yasası ile elde edilir.

Nereye:

R, elde edilen vektörün büyüklüğüdür;
a vektör modülüdür ;
b vektörün modülüdür ;
vektörlerin yönleri arasında oluşan açıdır.

Paralelkenar yöntemi, bir çift vektör eklemek için kullanılır. İkiden fazla vektör eklemek istiyorsanız, bunları ikişer ikişer eklemelisiniz. İlk ikisinin toplamından elde edilen vektöre üçüncüyü ekliyoruz vb.

İkiden fazla vektör eklemenin başka bir yolu da çokgen çizgi yöntemini kullanmaktır.

çokgen çizgi yöntemi

Çokgen çizgi yöntemi, vektörlerin eklenmesinden elde edilen vektörü bulmak için kullanılır. Bu yöntem özellikle aşağıdaki vektörler gibi ikiden fazla vektör eklenirken kullanışlıdır. , , ve .

Bu yöntemi kullanmak için vektörleri, birinin sonu (ok) diğerinin başlangıcıyla çakışacak şekilde sıralamalıyız. Modülü, yönü ve yönü korumak önemlidir.

Tüm vektörleri çokgen bir çizgi şeklinde düzenledikten sonra, ilkin başından sonun sonuna kadar çıkan vektörün izini sürmeliyiz.

Ortaya çıkan vektörün, oku son vektördeki okla çakışacak şekilde çokgeni kapatması önemlidir.

Değişmeli özellik geçerlidir, çünkü çizim vektörlerini yerleştirdiğimiz sıra elde edilen vektörü değiştirmez.

vektör ayrıştırma

Bir vektörü ayrıştırmak, bu vektörü oluşturan bileşenleri yazmaktır. Bu bileşenler diğer vektörlerdir.

Her vektör, bir vektör toplamı aracılığıyla diğer vektörlerin bir bileşimi olarak yazılabilir. Başka bir deyişle, bir vektörü, bileşen dediğimiz iki vektörün toplamı olarak yazabiliriz.

Dik x ve y eksenleri olan bir Kartezyen koordinat sistemi kullanarak vektörün bileşenlerini belirleriz.

vektör bileşen vektörleri arasındaki vektör toplamının sonucudur. ve .

vektör eğim x ekseni ile bir dik üçgen oluşturur. Böylece bileşen vektörlerinin modüllerini trigonometri kullanarak belirliyoruz.

Bileşen modülü baltası.

Bileşen modülü ay.

vektör modülü Pisagor Teoreminden elde edilir.

Örnek
Yerden bir blok çekilerek bir kuvvet uygulanır. 50 N modül kuvveti yataydan 30° eğilir. Bu kuvvetin yatay ve düşey bileşenlerini belirleyiniz.

Veri:

Gerçek bir sayının bir vektörle çarpımı

Gerçek bir sayıyı bir vektörle çarparak, aşağıdaki özelliklere sahip yeni bir vektör elde edilir:

• Gerçek sayı sıfır değilse aynı yön;
• Gerçek sayı pozitif ise aynı yönde, negatif ise ters yönde;
• Modül, gerçek sayının modülünün ve çarpılan vektörün modülünün ürünü olacaktır.

Gerçek bir sayı ile bir vektör arasındaki çarpım

Nereye:
çarpmadan elde edilen vektördür;
gerçek sayıdır;
çarpılmakta olan vektördür.

Örnek
Gerçek sayı n = 3 olsun ve vektör modulo 2'nin aralarındaki çarpım şuna eşittir:

Modül hesaplama

Yön ve yön aynı olacaktır.

1. Egzersiz

(Enem 2011) Sürtünme kuvveti cisimler arasındaki temasa bağlı olan bir kuvvettir. Cisimlerin yer değiştirme eğilimine karşı bir kuvvet olarak tanımlanabilir ve temas halindeki iki yüzey arasındaki düzensizlikler nedeniyle oluşur. Şekilde oklar cisme etki eden kuvvetleri, büyütülmüş nokta ise iki yüzey arasındaki düzensizlikleri temsil etmektedir.

Şekilde yer değiştirmeye ve sürtünmeye neden olan kuvvetleri temsil eden vektörler sırasıyla:

NS)

B)

C)

NS)

ve)

Yanıtı Gör

Doğru cevap: a harfi

Oklar, yatay yönde hareket eden kuvvetlerin vektörlerini temsil eder, etki-tepki çifti olup zıt yönlere sahiptir.

Dikey oklar, Ağırlık kuvvetinin ve Normal kuvvetin hareketlerini temsil eder ve eşit olduklarından, dikey yönde hiçbir hareket olmaksızın birbirlerini iptal ederler.

Egzersiz 2

(UEFS 2011) Şekildeki vektör diyagramı, iki lastik bandın ortodontik tedavi gören bir kişinin dişine uyguladığı kuvvetleri özetlemektedir.

F = 10.0N, sen45° = 0.7 ve cos45° = 0.7 olduğu varsayıldığında, elastiklerin dişe uyguladığı kuvvetin N cinsinden şiddeti şuna eşittir:

a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45

Yanıtı Gör

Doğru cevap: c) 2√85

Dişe uygulanan kuvvetin yoğunluğu Kosinüs Yasası ile elde edilir.

a ve b, 10 N'ye eşittir.

Kare kökü çarpanlara ayırmak bize şunları verir:

Bu nedenle, lastik bantların dişe uyguladığı bileşke kuvvetin yoğunluğu, .

Egzersiz 3

(PUC RJ 2016) Şekildeki F1, F2, F3 ve F4 kuvvetleri birbirine dik açı yapmaktadır ve modülleri sırasıyla 1 N, 2 N, 3 N ve 4 N'dir.

Net kuvvetin modülünü N cinsinden hesaplayın.

a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10

Yanıtı Gör

Doğru cevap: d) 2√ 2

Ortaya çıkan vektörü belirlemek için çokgen çizgi yöntemini kullanıyoruz. Bunu yapmak için vektörleri, birinin sonu diğerinin başlangıcına denk gelecek şekilde yeniden düzenleriz, şöyle:

Ortaya çıkan vektörün başlangıcında orijini olan bir koordinat sistemi kullanarak, bileşenlerinin modüllerini aşağıdaki gibi belirleyebiliriz:

Bu nedenle, şunları yapmalıyız:

Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2N

Ortaya çıkan vektörün büyüklüğü Pisagor Teoremi ile belirlenir.

Bu nedenle, net kuvvetin modülü eşittir .

hakkında daha fazla öğren

• Vektörler: toplama, çıkarma ve ayrıştırma.
• Vektör nicelikleri

✖