Newton'un iki terimlisi bir sayıya yükseltilmiş herhangi bir binom var mı Hayır Ne üzerine Hayır bir doğal sayıdır. Fizikçinin çalışmaları sayesinde Isaac Newton binomların güçleri hakkında, mümkündü polinomun temsilini kolaylaştıran düzenlilikleri kontrol edin bir binomun gücünden üretilir.
Bu düzenlilikleri gözlemleyerek, aynı zamanda mümkün hale geldi. terimlerinden sadece birini bul polinom, bir binomun genel terim formülünü kullanarak hepsini hesaplamak zorunda kalmadan. Ek olarak, Newton arasında bir ilişki olduğunu fark etti. kombinatoryal analiza ve Newton'un iki terimlileri, Pascal üçgeni Newton binomunun daha pratik gelişimi için harika bir araç.
Siz de okuyun: Briot-Ruffini cihazı - polinomları bölme yöntemi
Newton'un binomunun tanımı
Binom olarak tanımlıyoruziki terimi olan polinom. Matematik ve Fizikteki bazı uygulamalarda, bir binomun güçlerini hesaplamak gerekir. Süreci kolaylaştırmak için, Isaac Newton önemli düzenlilikleri fark etti bu, bir binomun gücünden kaynaklanan polinomu bulmamızı sağlar.
Bazı durumlarda, hesaplama oldukça basittir: sadece Dağılma özelliğini kullanarak binomun kendisi ile çarpılması. 3. dereceden bir güce kadar, iyi bilinenler oldukları için fazla çaba harcamadan gelişiriz. önemli ürünler, ancak daha yüksek güçler için, terimin kendisiyle çarpılmasından hesaplayın Hayır bazen çok çalışmaktır.
Örnekler
Sıfıra yükseltilmiş her sayının 1'e eşit olduğunu ve 1'e yükseltilmiş her sayının kendisi olduğunu unutmayın, bu aynı zamanda binomlar için de geçerlidir.
Newton fark etti terimlerin her birinin katsayıları ile kombinasyon arasındaki ilişki, bu, bir binomun gücünün hesaplanmasına daha doğrudan aşağıdaki formülden izin verdi:
Formülü anlamak:
İlk önce her terimin üslü harf olan gerçek kısmına bakalım. Her terim için üslü olduğuna dikkat edin. “a” azalıyordu, n'den başlıyor, sonra n – 1'e gidiyordu ve sondan bir önceki dönemde 1 ve son terimde 0 olana kadar böyle devam ediyordu (“a” harfinin son terimde bile görünmemesine neden oluyor).
tanımlama ve üsleri:
Şimdi birinci terimde 0'dan başlayarak sürekli artan "b"nin üslerini inceleyelim ( bu, b harfinin ilk terimde görünmemesini sağlar), ikinci terimde 1 ve eşit olana kadar böyle devam eder. Hayırson dönemde.
tanımlama B ve üsleri:
Gerçek kısmı anlayalım, hadi katsayıları analiz et, tüm kombinasyonları olan Hayır 0'dan 0'a, 1'den 1'e, 2'den 2'ye, vb. Hayır alınan elemanlar Hayır içinde Hayır.
hesaplanmasında ustalaşmanın önemli olduğu dikkat çekicidir. kombinasyonlar katsayılarını bulabilme. Kombinasyonları hesaplamak için şunları yapmamız gerektiğini unutmayın:
Kombinasyon yanıtı her zaman bir doğal sayı.
Ayrıca bakınız: Polinom bölümü: nasıl çözülür?
Misal: Newton'un binomunu (a+b) dördüncü kuvvete hesaplayın.
1. adım: formülü kullanarak polinomu yazınız.
2. adım: kombinasyonları hesaplayın.
Kombinasyonları değiştirerek, bulunan polinom şöyle olacaktır:
Bu gibi durumları çözmenin üsse bağlı olarak hala zahmetli olduğunu görebilirsiniz, ancak yine de dağılma özelliğini kullanarak hesaplamaktan daha hızlıdır. Bu hesaplamaya yardımcı olabilecek bir araç Pascal üçgenidir.
Pascal üçgeni
Pascal üçgeni, kombinasyon çalışmaları sırasında Blaise Pascal tarafından geliştirilmiştir. o kombinasyonları hesaplamayı kolaylaştıran bir yol. Pascal üçgenini kullanmak, tüm kombinasyonları hesaplamak zorunda kalmadan bir Newton binomunun değişmez kısımlarının katsayılarını bulmayı daha hızlı ve daha kolay hale getirir.
Pascal üçgenini doğrudan oluşturmak için, kombinasyon hesaplamasının 1'e eşit olduğu iki durumu hatırlayalım.
Böylece, tüm doğruların ilk ve son terimleri her zaman 1'e eşittir. Merkezi terimler, aşağıdaki gösterimde olduğu gibi, üstündeki terimin ve önceki sütundaki komşusunun toplamından oluşturulur:
Sonraki satırları oluşturmak için ilk terimin 1 ve son terimin de olduğunu unutmayın. O zaman merkezi terimleri bulmak için toplamları yapmak yeterlidir.
Ayrıca erişim: Polinom Ayrışma Teoremi
Misal: (a+b)'yi altıncı güce hesaplayın.
1. adım: binom formülünü uygulayın.
2. adım: 6. satıra kadar Pascal üçgeni oluşturun.
3. adım: kombinasyonları, binom terimlerinin her birinin katsayıları olan 6. satırdaki değerlerle değiştirin.
Binomdan oluşturacağımız satır sayısını belirleyen n'nin değeridir. İlk satırın sıfır olduğunu hatırlamak önemlidir.
Newton'un iki terimli genel terimi
Newton'un genel binom terimi, polinomun tamamını geliştirmemize gerek kalmadan binomun bir terimini hesaplamamıza izin veren bir formüldür. terimlerden herhangi birini baştan sona tanımlayın. Formül ile doğrudan aradığımız terimi hesaplıyoruz.
bu: ilk dönem
B: ikinci dönem
n: üs
p+1: Arama terimi
Misal: İki terimlinin (a + b) 11. terimini bulun12.
Çözüm:
Ayrıca bakınız: gösteriler vasıtasıyla cebirsel hesabın
çözülmüş alıştırmalar
Soru 1 - (Cesgranrio) x'in katsayısı4 polinomda P(x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
çözüm
Binomun çözümünde belirli bir terim bulmak istiyoruz; bunun için p'nin değerini bulmamız gerekiyor.
Bu durumda ilk terimin x'e eşit olduğunu biliyoruz, dolayısıyla n – p = 4, n = 6 olarak elimizde:
Dolayısıyla, katsayı 60'tır (alternatif B).
Soru 2 - (Unifor) Binom gelişiminin merkez terimi ise (4x + ky)10 8064x için5y5, o zaman k değerine karşılık gelen alternatif şöyle olacaktır:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e 4
çözüm: Merkez terimin katsayılarının eşit olduğunu biliyoruz (p= 5). p+1=6 olduğuna göre 6. terimi bulalım. Ayrıca, a = 4x; b = ky ve n = 10, yani:
Alternatif D.
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
