Pascal üçgeni: nedir, işlev, özellikler

protection click fraud

Ö Pascal üçgeni oldukça eski bir matematik aracıdır. Tarih boyunca birçok isim almıştır, ancak günümüzde en çok benimsenenleri şunlardır: aritmetik üçgen ve Pascal üçgeni. İkinci isim, bu üçgenin çalışmasına çeşitli katkılarda bulunan matematikçiye bir övgüdür. yani üçgenin kendisi tarafından icat edildiği anlamına gelir, ancak bu konuda daha derin bir çalışma yapan oydu. alet.

Pascal üçgeninin özelliklerinden, mantıksal olarak inşa etmek mümkündür. Ayrıca öne çıkıyor ilişki kombinasyonlar kombinatoryal analizde okudu. Pascal üçgeninin terimleri de binom katsayılarına karşılık gelir ve bu nedenle herhangi bir Newton binomunu hesaplamak için çok yararlıdır.

Siz de okuyun: Briot-Ruffini cihazı - polinomları bölme yöntemi

Pascal üçgeninin yapımı

Pascal üçgeni kombinasyonların sonucunda üretilir, ancak onu inşa etmeyi kolaylaştıran pratik bir yöntem var. İlk satır ve ilk sütun, satır sıfır ve sütun sıfır olarak sayılır. Gerektiği kadar çok satır kullanabiliriz bu yapıda, bu nedenle üçgenin sonsuz çizgileri olabilir. Çizgilerin detaylandırılmasının mantığı her zaman aynıdır. Bakmak:

instagram story viewer

Biz biliyoruz ki üçgen terimler kombinasyonlardır, okudu kombinatoryal analiz. Pascal üçgenini sayısal değerlerle değiştirmek için, bir sayının sıfırla ve bir sayının kendisiyle kombinasyonlarının her zaman 1'e eşit olduğunu biliyoruz. Bu nedenle ilk ve son değerler her zaman 1'dir.

Diğerlerini bulmak için satır 2 ile başlıyoruz, çünkü satır 0 ve satır 1 zaten tamamlandı. 2. satırda 2'ye 1'in kombinasyonunu bulmak için yukarıdaki satırda yani 1. satırda resimde gösterildiği gibi onun üstündeki terimi aynı sütuna ve üstündeki terimi bir önceki sütuna ekleyelim :

2. hattı oluşturduktan sonra, aynı prosedürü uygulayarak 3. hattı inşa etmek mümkündür.

Bu prosedüre devam ederek, tüm terimleri bulacağız – bu durumda 5. satıra kadar – ancak gerektiği kadar satır oluşturmak mümkündür.

Pascal Üçgeninin Özellikleri

Biraz var Pascal üçgeninin özellikleri, yapısındaki düzenlilik nedeniyle. Bu özellikler, kombinasyonlarla çalışmak, üçgen çizgilerin kendisi ve çizgilerin, sütunların ve köşegenlerin toplamı ile çalışmak için kullanışlıdır.

1. mülk

İlk özellik, üçgeni oluşturmak için kullandığımız özellikti. yani Pascal üçgeninde bir terim bulun, sadece üstündeki satırdaki terimi ve ondan önceki sütun ve satırdaki terimle aynı sütunu ekleyin. Bu özellik aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Bu özellik olarak bilinir Stifel'in ilişkisi ve üçgenin yapımını kolaylaştırmak ve her bir çizginin değerlerini bulmak önemlidir.

2. mülk

Bir satırdaki tüm terimlerin toplamı şu şekilde hesaplanır:

s_numara=2^numara, Ne üzerine numara satır numarasıdır.

Örnekler:

Bu özellik ile bilmek mümkündür bir satırdaki tüm terimlerin toplamı Pascal üçgenini oluşturmak zorunda kalmadan. Örneğin 10. satırın toplamı 2 ile hesaplanabilir.¹⁰= 1024. Tüm terimler bilinmemekle birlikte, tüm satırın toplam değerini bilmek zaten mümkündür.

3. mülk

Belirli bir sütunun başından itibaren sıralanan terimlerin toplamı için belirli bir çizgiye kadar numara satırdaki terimle aynı n+1 arka ve sütun p+1 sonra, aşağıda gösterildiği gibi:

4. mülk

0 sütununda başlayan ve p sütunu ve n satırındaki terime giden bir köşegenin toplamı, resimde gösterildiği gibi aynı sütundaki (p) ancak aşağıdaki satırdaki (n+1) terime eşittir. :

5. mülk

Pascal üçgeninin doğrularında simetri vardır. Birinci ve ikinci terim eşittir, ikinci ve sondan bir önceki terim eşittir vb.

Örnek:

6. satır: 1615 20 156 1.

Merkezi terim dışında terimlerin ikiye ikiye eşit olduğuna dikkat edin.

Ayrıca bakınız: Polinom bölümü: nasıl çözülür?

Newton'un iki terimlisi

Newton'un binom a'sını tanımlıyoruz birinin gücü polinom iki terimi olan. Bir binomun hesaplanması, binom katsayıları dediğimiz şeyi hesaplamak için bir mekanizma haline gelen Pascal üçgeni ile ilgilidir. Bir binom hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Üs değerinin NS son terime eşit olana kadar azalır NS⁰. 0'a yükseltilmiş her sayının 1'e eşit olduğunu biliyoruz, bu nedenle terim NS son dönemde görünmüyor. Ayrıca, üssünün B İle başlar B⁰, yakın zamanda B ilk dönemde görünmez ve ulaşıncaya kadar artar. B^numara, son dönemde.

Ayrıca, terimlerin her birine eşlik eden sayı, katsayı dediğimiz şeydir - bu durumda binom katsayısı olarak bilinir. Bu tür iki terimlinin nasıl çözüleceğini daha iyi anlamak için metnimize erişin: Newton'un iki terimlisi.

binom katsayısı

Binom katsayısı, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilen kombinasyondan başka bir şey değildir:

Ancak Newton binomunun hesaplanmasını kolaylaştırmak için bize kombinasyonun sonucunu daha hızlı verdiği için Pascal üçgenini kullanmak esastır.

Örnek:

Binom katsayısının sonucunu bulmak için Pascal üçgeninin 5. satırının {1,5,10,10,5,1} olan değerlerini bulalım.

(x+y)⁵= 1x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+1y⁵

Basit ifadeyle:
(x+y)⁵= x⁵+5x⁴y+10x³y²+ 10x²y³+ 5xy⁴+y⁵

Pascal üçgeni binom katsayılarından oluşur.

çözülmüş alıştırmalar

Soru 1 - Aşağıdaki ifadenin değeri nedir?

A) 8

B) 16

C) 2

D) 32

E) 24

Çözünürlük

Alternatif A.

Pozitif ve negatif değerleri yeniden gruplandırarak şunları yapmalıyız:

Aslında Pascal üçgeninin 4. satırı ile 3. satırı arasındaki çıkarmayı hesapladığımızı unutmayın. Mülkiyet olarak şunu biliyoruz:

s₄= 2⁴= 16

s₃= 2³= 8

16 – 8 = 8.

Soru 2 - Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?

A) 32

B) 28

C) 256

D) 24

E) 54

Çözünürlük

Alternatif B.

Pascal üçgeninin 1. sütunundaki terimleri 7. satıra, ardından 3. satıra eklediğimizi unutmayın. özelliği, bu toplamın değeri, 7+1 satırı ve 1+1 sütununu kaplayan terime eşittir, yani 8. satır, sütun 2. Sadece bir değer istediğimiz için Pascal üçgeninin tamamını oluşturmak uygun değildir.