Üstel İşlev: 5 yorumlu alıştırma

bu üstel fonksiyon ℝ'nin of'deki her fonksiyonu^*_+, f(x) = a ile tanımlanır^xburada a, sıfırdan büyük ve 1'e eşit olmayan gerçek bir sayıdır.

Bu içerikle ilgili tüm şüphelerinizi gidermek için yorumlanan alıştırmalardan yararlanın ve yarışmaların çözülmüş sorularında bilginizi kontrol ettiğinizden emin olun.

Yorumlanmış Egzersizler

1. Egzersiz

Bir grup biyolog, belirli bir bakteri kolonisinin gelişimini inceliyor ve İdeal koşullar altında bakteri sayısının N(t) ifadesi ile bulunabileceğini buldu. = 2000. 2^{0,5 ton}, saat cinsinden t olmak.

Bu koşullar göz önüne alındığında, gözlemin başlamasından ne kadar süre sonra bakteri sayısı 8192000'e eşit olacak?

Çözüm

Önerilen durumda bakteri sayısını biliyoruz, yani N(t) = 8192000 olduğunu biliyoruz ve t değerini bulmak istiyoruz. Bu nedenle, verilen ifadede bu değeri değiştirin:

Bu denklemi çözmek için 4096 sayısını asal çarpanlara yazalım, çünkü aynı tabana sahipsek üsleri eşitleyebiliriz. Bu nedenle, sayıyı çarpanlara ayırdığımızda:

Böylece kültür, gözlemin başlangıcından 1 gün (24 saat) sonra 8 192 000 bakteriye sahip olacaktır.

Egzersiz 2

Radyoaktif materyaller, zamanla radyoaktif kütlelerini parçalamak için doğal bir eğilime sahiptir. Radyoaktif kütlesinin yarısının parçalanması için geçen süreye yarı ömür denir.

Belirli bir elementin radyoaktif madde miktarı şu şekilde verilir:

Olmak,

N(t): Belirli bir zamanda radyoaktif madde miktarı (gram olarak).
N₀: başlangıçtaki malzeme miktarı (gram olarak)
T: yarı ömür süresi (yıl olarak)
t: zaman (yıl olarak)

Bu elementin yarı ömrünün 28 yıla eşit olduğunu göz önünde bulundurarak, radyoaktif maddenin başlangıç ​​miktarının %25'ine düşmesi için gereken süreyi belirleyiniz.

Çözüm

Önerilen durum için A(t) = 0.25 A₀ = 1/4A₀, böylece verilen ifadeyi T yerine 28 yıl yazabiliriz, o zaman:

Dolayısıyla radyoaktif madde miktarının %25 oranında azalması 56 yıl alacaktır..

Yarışma Soruları

1) Unesp - 2018

İbuprofen, ağrı ve ateş için reçete edilen bir ilaçtır ve yarılanma ömrü yaklaşık 2 saattir. Bu, örneğin 2 saat boyunca 200 mg ibuprofen aldıktan sonra, hastanın kan dolaşımında ilacın sadece 100 mg'ının kalacağı anlamına gelir. 2 saat sonra (toplam 4 saat), kan dolaşımında sadece 50 mg kalacaktır. Bir hasta 6 saatte bir 800 mg ibuprofen alıyorsa, bu ilacın ilk dozu aldıktan sonraki 14 saat boyunca kan dolaşımında kalacak miktarı

a) 12.50 mg
b) 456.25 mg
c) 114.28 mg
d) 6.25 mg
e) 537.50 mg

Yanıtı Gör

Her 2 saatte bir kan dolaşımındaki ilk ilaç miktarı yarıya bölündüğünden, bu durumu aşağıdaki şemayı kullanarak gösterebiliriz:

Her durumda üs, zamanın 2'ye bölünmesine eşittir. Böylece, aşağıdaki ifadeyi kullanarak kan dolaşımındaki ilaç miktarını zamanın bir fonksiyonu olarak tanımlayabiliriz:

Olmak

Q(t): belirli bir saatteki miktar
S₀: alınan ilk miktar
t: saat cinsinden zaman

Her 6 saatte bir 800 mg ibuprofen alındığı düşünülürse, elimizde:

1. dozu aldıktan 14 saat sonra kan dolaşımındaki ilaç miktarını bulmak için 1., 2. ve 3. dozlara atıfta bulunan miktarları eklemeliyiz. Bu miktarları hesapladığımızda:

1. dozun miktarı 14 saate eşit süre göz önünde bulundurularak bulunacaktır, yani elimizde:

Yukarıdaki şemada gösterildiği gibi ikinci doz için süre 8 saattir. Bu değeri değiştirirsek:

3. dozun süresi sadece 2 saat olacaktır. 3. doza ilişkin miktar daha sonra şöyle olacaktır:

Artık alınan her dozun miktarlarını bildiğimize göre, bulunan miktarların her birini ekleyerek toplam miktarı bulabiliriz:

S_Toplam= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternatif b) 456.25 mg

2) UERJ - 2013

Bir şehri beslemek için kullanılan bir göl, bir endüstriyel kazadan sonra kirlendi ve zehirlilik düzeyine ulaştı.₀, başlangıç ​​seviyesinin on katına karşılık gelir.
Aşağıdaki bilgileri okuyun.

• Gölün doğal akışı, her on günde bir hacminin %50'sinin yenilenmesine izin veriyor.
• Kazadan x gün sonra toksisite seviyesi T(x), aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanabilir:

D'yi, toksisitenin başlangıç ​​seviyesine dönmesi için gerekli olan, su kaynağının askıya alındığı en küçük gün sayısı olarak kabul edin.
Log 2 = 0,3 ise, D'nin değeri şuna eşittir:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Yanıtı Gör

Başlangıç ​​toksisite düzeyine geri dönmek için şunlar gereklidir:

Bu değeri verilen fonksiyonda yerine koyarsak:

"Çapraz" ile çarpıldığında denklem şöyle olur:

2 ^0.1x= 10

1. dereceden bir denkleme dönüştürmek için 10 tabanlı logaritmayı her iki tarafa da uygulayalım:

günlük (2^0.1x) = günlük 10

10 tabanındaki logun 1'e eşit olduğunu hatırlayarak denklemimiz şöyle görünecektir:

0.1x. günlük 2 = 1

Log 2 = 0.3 olduğunu düşünürsek ve bu değeri denklemde yerine koyarsak:

Bu nedenle, arzın askıya alınması gereken en küçük gün sayısı yaklaşık olarak 34 gündür.

alternatif c) 34

3) Fuvesp - 2018

f: ℝ → ℝ ve g: ℝ olsun₊ →ℝ ile tanımlanır

sırasıyla.

g bileşik fonksiyonunun grafiği_ºinanç:

Yanıtı Gör

Aradığınız grafik bileşik g fonksiyonudur._ºf, bu nedenle, ilk adım bu işlevi belirlemektir. Bunun için g(x) fonksiyonunun x'indeki f(x) fonksiyonunu değiştirmeliyiz. Bu değişikliği yaparak şunları bulacağız:

Bölümün ve bir gücün logaritma özelliğini kullanarak şunları elde ederiz:

Yukarıda bulunan fonksiyonun afin fonksiyonu olan ax+b tipinde olduğuna dikkat edin. Yani grafiğiniz düz bir çizgi olacak.

Ayrıca, a eğimi log'a eşittir₁₀ 5, pozitif bir sayıdır, dolayısıyla grafik artacaktır. Bu şekilde b, c ve e seçeneklerini eleyebiliriz.

Geriye a ve d seçenekleri kalıyor, ancak x=0 olduğunda gof = - log var₁₀ 2, a grafiğinde gösterildiği gibi negatif bir değerdir.

alternatif a)

4) Tek Kamp - 2014

Aşağıdaki grafik, t süresi boyunca bir mikroorganizma popülasyonu için biyotik potansiyel eğrisini q(t) göstermektedir.

a ve b gerçek sabitler olduğundan, bu potansiyeli temsil edebilen fonksiyon şudur:

a) q(t) = + b'de
b) q(t) = ab^t
c) q(t) = en² + bt
d) q(t) = a + log _B t

Yanıtı Gör

Gösterilen grafikten, t=0 olduğunda fonksiyonun 1000'e eşit olduğunu belirleyebiliriz. Ayrıca, grafik düz bir çizgi olmadığı için fonksiyonun afin olmadığını gözlemlemek de mümkündür.

Fonksiyon q (t) = türünde olsaydı²+bt, t = 0 olduğunda sonuç 1000 değil sıfıra eşit olacaktır. Yani ikinci dereceden bir fonksiyon da değil.

nasıl giriş yapılır_B0 tanımlı değildir ve q (t) = a + log fonksiyonuna cevap olarak sahip olamaz._Bt.

Böylece, tek seçenek q(t) = ab işlevi olacaktır.^t. t=0 dikkate alındığında fonksiyon q(t)=a olacaktır, a sabit bir değer olduğu için fonksiyonun verilen grafiğe uyması için 1000'e eşit olması yeterlidir.

Alternatif b) q (t) = ab^t

5) Düşman (PPL) - 2015

Bir şirketin işçi sendikası, sınıfın maaş tabanının 1.800,00 R$ olmasını öneriyor ve işe ayrılan her yıl için sabit bir yüzde artışı öneriyor. Hizmet süresinin (t) bir fonksiyonu olarak maaş teklif(ler)ine karşılık gelen ifade s (t) = 1800'dür. (1,03)^t .

Sendikanın önerisine göre, bu şirketten 2 yıl hizmet veren bir uzmanın maaşı, reel olarak;

a) 7 416.00
b) 3.819.24
c) 3.709.62
d) 3,708.00
e) 1.909.62.

Yanıtı Gör

Sendika tarafından önerilen zamanın bir fonksiyonu olarak ücretin hesaplanması ifadesi, üstel bir fonksiyona karşılık gelir.

Belirtilen durumda maaş değerini bulmak için t=2 iken s değerini aşağıda belirtildiği gibi hesaplayalım:

s(2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternatif e) 1 909.62

sen de oku:

• Üstel İşlev
• logaritma
• Logaritma - Alıştırmalar
• Logaritma Özellikleri
• potansiyalizasyon
• güçlendirme egzersizleri
• Afin Fonksiyonu
• Doğrusal fonksiyon
• İlgili Fonksiyon Egzersizleri
• İkinci dereceden fonksiyon
• İkinci Dereceden Fonksiyon - Alıştırmalar
• Matematik Formülleri