Basit ve bileşik faiz, işlemlerde yer alan tutarları düzeltmek için yapılan hesaplamalardır. finansal, yani belirli bir süre boyunca belirli bir miktarda borç verirken veya yatırım yaparken yapılan düzeltme. zaman.
Ödenen veya itfa edilen miktar, işlem için alınan ücrete ve paranın ödünç alınacağı veya yatırılacağı süreye bağlı olacaktır. Hız ve süre ne kadar yüksek olursa, bu değer o kadar yüksek olur.
Basit ve bileşik faiz arasındaki fark
Basit ilgi, düzeltme her döneme uygulanır ve yalnızca başlangıç değerini dikkate alır. Bileşik faizde, düzeltilmiş tutarlar üzerinden düzeltme yapılır.
Bu nedenle, bileşik faize, faize ilişkin faiz de denir, yani tutar, önceden ayarlanmış bir tutar üzerinden düzeltilir.
Bu nedenle, daha uzun yatırım veya kredi dönemleri için bileşik faizle düzeltme, alınacak veya ödenecek nihai tutarın basit faizle elde edilen miktardan daha fazla olmasına neden olacaktır.
Çoğu finansal işlem, bileşik faiz sistemi tarafından yapılan düzeltmeyi kullanır. Basit faiz, kısa vadeli işlemlerle sınırlıdır.
Basit faiz formülü
Basit faiz aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Olmak,
J: faiz
C: sermaye finansal matematiği olarak adlandırılan ilk işlem değeri
i: faiz oranı (tutar genellikle yüzde olarak ifade edilir)
t: işlem süresi
Ayrıca önceden belirlenmiş bir süre sonunda geri alınacak toplam tutarı (yatırım durumunda) veya geri ödenecek tutarı (kredi durumunda) da hesaplayabiliriz.
Tutar adı verilen bu değer, anapara artı faizin toplamına eşittir, yani:
J'nin değerini yukarıdaki formülde yerine koyabilir ve miktar için aşağıdaki ifadeyi bulabiliriz:
Bulduğumuz formül afin bir fonksiyondur, dolayısıyla miktarın değeri zamanın bir fonksiyonu olarak lineer olarak büyür.
Misal
Aylık 100$ anapara getirisi aylık 25,00$ ise, basit faiz sisteminde yıllık faiz oranı nedir?
Çözüm
İlk olarak, problemde belirtilen her bir miktarı tanımlayalım.
C = 1000,00 BRL
J = 25,00 BRL
t = 1 ay
ben =?
Artık tüm miktarları belirlediğimize göre, faiz formülünde yerine koyabiliriz:
Ancak, 1 aylık dönemi kullandığımız için bu ücretin aylık olduğunu lütfen unutmayın. Yıllık ücreti bulmak için bu değeri 12 ile çarpmamız gerekiyor, yani:
ben = 2.5.12 = yılda %30
Bileşik faiz formülü
Bileşik faize aktifleştirilen tutar aşağıdaki formül uygulanarak bulunur:
Olmak,
M: miktar
C: sermaye
ben: faiz oranı
t: zaman dilimi
Basit faizden farklı olarak, bu tür büyük harf kullanımında, tutarı hesaplama formülü üstel bir varyasyon içerir. Bu nedenle, nihai değerin daha uzun süreler için önemli ölçüde arttığı açıklanmaktadır.
Misal
Bileşik faiz sisteminde bir yıl sonra her çeyrekte %4 oranında uygulanan 2.000 R$'ın ürettiği tutarı hesaplayın.
Çözüm
Verilen bilgileri tanımlayarak, elimizde:
C = 2000
i = çeyrek başına %4 veya 0.04
t = 1 yıl = 4 çeyrek
M = ?
Bileşik faiz formülündeki bu değerleri değiştirirsek:
Bu nedenle, bir yılın sonunda tutar 2,339,71 R$'a eşit olacaktır.
Çözülmüş Alıştırmalar
soru 1
Miktarın hesaplanması
Basit ve bileşik faizli sistemlerde 1 yıl 6 aylık dönemde aylık %3 oranında 500,00 R$'lık yatırım tutarı nedir?
basit ilgi
Veri:
C = 500
ben = 0.03
t = 18 ay (1 yıl + 6 ay)
Tutar başlangıç sermayesi artı faiz olacaktır.
M = C + J
Faiz şudur:
J = C.i.t
J = 500.0.03.18 = 270
Yani miktar şöyle olacaktır:
M = C+J
M = 500+270
M = 770
Cevap: Bu başvurunun tutarı 770,00 R$ olacaktır.
Bileşik faiz
Formüldeki değerleri uygulayarak şunları elde ederiz:
Cevap: Bileşik faiz rejimi kapsamındaki yatırım tutarı 851,21 R$'dır.
soru 2
Sermaye hesaplaması
6 aylık bir süre için belirli bir sermaye uygulandı. Bu oran aylık %5 idi. Bu süreden sonra, miktar R$5000.00 oldu. Sermayeyi belirleyin.
basit ilgi
Basit faiz formülünde C'yi kanıt olarak koymak:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
C'yi denklemde izole etmek:
Bileşik faiz
Bileşik faiz formülünde C'yi izole etmek ve değerleri değiştirmek:
Cevap: Sermaye 4201,68 R$ olmalıdır.
Soru 3
Faiz oranı hesaplama
Sekiz aylık bir süre boyunca 1600,00 $ kazanç sağlayan 100.000 $'lık bir yatırımın aylık faiz oranı ne olurdu?
basit ilgi
Formülü uygulamak ve C'yi kanıt olarak koymak:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.t)
Değerlerin değiştirilmesi ve sayısal hesaplamaların yapılması:
yüzde olarak
ben = %7,5
Bileşik faiz
Bileşik faiz formülünü kullanalım ve tutarı anaparaya bölelim.
4. soru
Başvuru süresinin hesaplanması (zaman)
Aylık %9 faizle 8000 R$'lık bir sermaye yatırıldı ve 10360,00 R$ elde edildi.
Bu sermaye ne kadar süreyle yatırıldı?
basit ilgi
formülü kullanma
Bu nedenle, süre yaklaşık 3.27 aydır.
Bileşik faiz
Bu adımda, üstel bir denklemle karşı karşıyayız.
Bunu çözmek için, aynı tabana sahip bir logaritmayı denklemin her iki tarafına uygulayarak logaritmayı kullanacağız.
Denklemin sağ tarafındaki logaritmaların bir özelliğini kullanarak şunları elde ederiz:
soru 5
UECE - 2018
Bir mağaza, aşağıdaki ödeme koşullarıyla bir TV seti satıyor: 800,00 R$ peşinat ve iki ay sonra 450,00 R$ ödeme. Spot TV'nin fiyatı 1.200,00 R$ ise, ödemeye dahil edilen basit aylık faiz oranı
A) %6.25.
B) %7.05.
C) %6.40.
D) %6.90.
TV'nin peşin fiyatı (1.200,00 R$) ile iki taksitte ödenen tutarı karşılaştırdığımızda, ödenen tutarın 1,250,00 R$ (800 +450 R$) olduğu için 50,00 R$'lık bir artış olduğunu gözlemliyoruz.
Tahsil edilen oranı bulmak için, borç bakiyesine faiz uygulandığını (TV değeri eksi peşinat) dikkate alarak basit faiz formülünü uygulayabiliriz. Böylece sahibiz:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 ay
J = C.i.t
50 = 400.i.2
Alternatif: a) %6.25
sermaye denkliği
Finansal Matematikte, bir işlemde yer alan tutarların zamanla değişeceğini akılda tutmak önemlidir.
Bu gerçek göz önüne alındığında, bir finansal analiz yapmak, mevcut değerleri gelecekteki değerlerle karşılaştırmayı ifade eder. Bu nedenle, sermayenin denkliğini farklı zamanlarda yapmanın bir yolunu bulmalıyız.
Bileşik faiz formülünde tutarı hesapladığımızda, bugünkü değerden i oranında t zaman dilimi için gelecekteki değeri buluyoruz.
Bu (1+i) terimi çarpılarak yapılır.Hayır bugünkü değerde, yani:
Aksine, gelecekteki değeri bilerek şimdiki değeri bulmak istiyorsak, bir bölme yapacağız, yani:
Misal:
Bir kişi çok uygun fiyata motosiklet almak için bir finans şirketinden aylık %15 faizle 6,000,00 R$ kredi istedi. İki ay sonra 3,000,00 R$ ödedi ve bir sonraki ay borcunu ödedi.
Kişinin ödediği son taksit tutarı ne kadardı?
Çözüm
Kişi kredi borcunu ödeyebildiyse, ilk taksit artı ikinci taksitte ödenen tutar, borçlu olunan miktara eşittir.
Ancak taksitler dönem içinde aylık faize göre ayarlanmıştır. Dolayısıyla bu miktarları eşleştirmek için aynı tarihteki eşdeğer değerlerini bilmemiz gerekir.
Aşağıdaki şemada gösterildiği gibi kredinin vadesini dikkate alarak denkleştirmeyi gerçekleştireceğiz:
Formülü iki ve üç ay boyunca kullanmak:
Bu nedenle, yapılan son ödeme 5,675,25 R$'dır.
Egzersiz çözüldü
6. soru
Bileşik faiz kullanılarak aylık % i oranında, P'ye eşit sekiz sabit taksitte kredi kullanılmıştır.
Borçlu, borcunu istediği zaman peşin ödeyerek, bunun için henüz ödenmemiş taksitlerin cari değerini ödeyebilir. 5. taksiti ödedikten sonra 6. taksiti öderken borcunu kapatmaya karar verir.
Kredinin geri ödenmesi için ödenen toplam tutara tekabül eden ifade şudur:
Cevap: a harfi
