Matris, gerçek sayılardan oluşan, satırlar ve sütunlar halinde düzenlenmiş bir tablodur. Matriste görünen sayılara eleman denir.
Bu içerikle ilgili tüm şüphelerinizi gidermek için çözülmüş ve yorumlanmış giriş sınavı sorularından yararlanın.
Giriş Sınavı Sorunları Çözüldü
1) Tek Kamp - 2018
A ve b, matris A = olacak şekilde reel sayılar olsun. denklem A'yı karşılar2= aA + bI, burada I, 2. dereceden kimlik matrisidir. Yani ab çarpımı şuna eşittir:
a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.
a.b ürününün değerini bulmak için önce a ve b'nin değerini bilmemiz gerekir. O halde problemde verilen denklemi ele alalım.
Denklemi çözmek için A'nın değerini hesaplayalım.2A matrisinin kendisiyle çarpılmasıyla yapılan, yani:
Bu işlem, aşağıda gösterildiği gibi, birinci matrisin satırları ikinci matrisin sütunları ile çarpılarak yapılır:
Bu şekilde A matrisi2 şununla aynı:
Az önce bulduğumuz değeri göz önünde bulundurarak ve birim matriste ana köşegenin elemanlarının 1'e ve diğer elemanların 0'a eşit olduğunu hatırlayarak, denklem şöyle olacaktır:
Şimdi A matrisini a sayısıyla ve birim matrisi b sayısıyla çarpmamız gerekiyor.
Bir sayıyı bir diziyle çarpmak için, sayıyı dizinin her bir öğesiyle çarptığımızı unutmayın.
Böylece eşitliğimiz şuna eşit olacaktır:
İki matrisi topladığımızda:
Karşılık gelen tüm elemanlar eşit olduğunda iki matris eşittir. Bu şekilde aşağıdaki sistemi yazabiliriz:
İkinci denklemde a'yı izole etmek:
İlk denklemde a için bulunan değeri yerine koyarak, b'nin değerini buluruz:
2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1
Böylece, ürün tarafından verilecektir:
. b = - 1. 2
. b = - 2
Alternatif: a) -2.
2) Birleşmiş Milletler - 2016
Ortogonal Kartezyen düzlemin koordinatları (x, y) olan bir P noktası, sütun matrisi ile temsil edilir. sütun matrisinin yanı sıra
ortogonal Kartezyen düzlemde (x, y) koordinatlarının P noktasını temsil eder. Böylece matris çarpımının sonucu
ortogonal Kartezyen düzlemde zorunlu olarak bir noktayı temsil eden bir sütun matrisidir.
a) P'nin saat yönünde ve merkez (0, 0)'da 180º dönmesi.
b) merkez (0, 0) olacak şekilde, P'nin saat yönünün tersine 90° döndürülmesi.
c) P'nin yatay x eksenine göre simetrisi.
d) P'nin dikey y eksenine göre simetrisi.
e) saat yönünde ve merkez (0, 0) olacak şekilde P'nin 90º döndürülmesi.
P noktası bir matris ile temsil edilir, öyle ki apsis (x) a elemanı ile gösterilir.11 ve a elemanına göre (y) ordinatı21 matrisin.
P noktasının yeni konumunu bulmak için, sunulan matrislerin çarpımını çözmeliyiz ve sonuç şöyle olacaktır:
Sonuç, P noktasının yeni koordinatını temsil eder, yani apsis -y'ye ve ordinat da x'e eşittir.
P noktasının konumunun geçirdiği dönüşümü belirlemek için durumu aşağıda gösterildiği gibi Kartezyen düzlemde temsil edelim:
Bu nedenle ilk başta 1. kadranda (pozitif apsis ve ordinat) bulunan P noktası 2. kadrana (negatif apsis ve pozitif ordinat) taşındı.
Bu yeni konuma hareket ederken, nokta yukarıdaki resimde kırmızı okla gösterildiği gibi saat yönünün tersine döndürüldü.
Hala dönüş açısı değerinin ne olduğunu belirlememiz gerekiyor.
P noktasının orijinal konumunu Kartezyen ekseninin merkezine bağlayarak ve aynısını yeni P' konumuna göre yaparak aşağıdaki durumu elde ederiz:
Şekilde gösterilen iki üçgenin eş olduğuna, yani ölçülerinin aynı olduğuna dikkat edin. Bu şekilde açıları da aynıdır.
Ayrıca α ve θ açıları tamamlayıcıdır, çünkü üçgenlerin iç açılarının toplamı 180º'ye eşittir ve üçgen dik açılı olduğu için bu iki açının toplamı 90º'ye eşit olacaktır.
Böylece şekilde β ile gösterilen noktanın dönme açısı ancak 90º'ye eşit olabilir.
Alternatif: b) merkez (0, 0) olacak şekilde, P'nin saat yönünün tersine 90° dönüşü.
3) Tek Kamp - 2017
a gerçek bir sayı olduğundan, A = matrisini düşünün . Böylece2017 aynı
)
B)
ç)
d)
İlk olarak, A matrisini 2017 kez kendisiyle çarpmak çok iş olduğundan, kuvvetler için bir model bulmaya çalışalım.
Matris çarpımında, her öğenin, birinin satırındaki öğelerin diğerinin sütunundaki öğelerle çarpılmasının sonuçları toplanarak bulunduğunu hatırlayalım.
A'yı hesaplayarak başlayalım2:
Sonuç, birim matristi ve herhangi bir matrisi birim matrisle çarptığımızda, sonuç matrisin kendisi olacaktır.
Bu nedenle, A'nın değeri3 A matrisinin kendisine eşit olacaktır, çünkü A3 = bir2. THE.
Bu sonuç tekrarlanacak, yani üs çift olduğunda sonuç birim matris, tek olduğunda ise A matrisinin kendisi olacaktır.
2017 tek olduğundan, sonuç A matrisine eşit olacaktır.
alternatif: b)
4) UFSM - 2011
Verilen diyagram, belirli bir ekosistemin basitleştirilmiş besin zincirini temsil eder. Oklar, diğer türün beslendiği türleri gösterir. Bir tür diğerini beslerken 1, tersi olduğunda ise sıfır değeri vererek aşağıdaki tabloyu elde ederiz:
matris A = (aij)4x4, tabloyla ilişkili olarak aşağıdaki eğitim yasasına sahiptir:
Satır numarası i ve sütun numarası j ile gösterildiğinden ve tabloya baktığımızda, i'nin j'ye eşit veya i'nin j'den büyük olduğu durumlarda sonucun sıfır olduğunu fark ederiz.
1 tarafından işgal edilen konumlar, sütun numarasının satır numarasından büyük olduğu konumlardır.
alternatif: c)
5) Unesp - 2014
Bilinmeyen X matrisi olan ve tüm matrisler n dereceli kare olan A + BX = X + 2C matris denklemini düşünün. Bu denklemin tek bir çözümü olması için gerekli ve yeterli koşul şudur:
a) B – I ≠ O, burada I n mertebesinin birim matrisidir ve O n mertebesinin sıfır matrisidir.
b) B tersinirdir.
c) B ≠ O, burada O, n dereceli boş matristir.
d) B – I tersinirdir, burada I n mertebesinden birim matrisidir.
e) A ve C tersinirdir.
Matris denklemini çözmek için, eşittir işaretinin bir tarafındaki X'i izole etmemiz gerekir. Bunu yapmak için, önce her iki taraftaki A matrisini çıkaralım.
A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A
Şimdi, her iki tarafta da X'i çıkaralım. Bu durumda denklem şöyle olacaktır:
BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A
I birim matrisi olduğundan, bir matrisi özdeşlikle çarptığımızda, sonuç matrisin kendisidir.
Yani, X'i yalnız bırakmak için şimdi eşittir işaretinin her iki tarafını da ters (B-I) matrisi ile çarpmalıyız, yani:
X.(B - I).(B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)
Bir matris ters çevrilebilir olduğunda, matrisin tersinin çarpımı birim matrise eşittir.
X = (B - I) - 1. (2C - A)
Böylece, B - I ters çevrilebilir olduğunda denklemin bir çözümü olacaktır.
Alternatif: d) B – I tersinirdir, burada I n mertebesinden birim matrisidir.
6) Düşman - 2012
Bir öğrenci, bazı derslerinin iki ayda bir aldığı notları bir tabloya kaydetmiştir. Tablodaki sayısal girdilerin 4x4'lük bir matris oluşturduğunu ve matrislerin çarpımını kullanarak bu disiplinler için yıllık ortalamaları hesaplayabildiğini kaydetti. Tüm testler aynı ağırlığa sahipti ve aldığı tablo aşağıda gösterilmiştir.
Bu ortalamaları elde etmek için tablodan elde edilen matrisi ile çarpmıştır.
Aritmetik ortalama, tüm değerler toplanarak ve değer sayısına bölünerek hesaplanır.
Bu nedenle öğrenci 4 bimesterin notlarını toplayıp sonucu 4'e bölmeli veya her notu 1/4 ile çarpıp tüm sonuçları toplamalıdır.
Matrisleri kullanarak, matris çarpımı yaparak aynı sonucu elde edebiliriz.
Ancak, iki matrisi çarpmanın ancak birindeki sütun sayısı diğerindeki satır sayısına eşit olduğunda mümkün olduğunu unutmamalıyız.
Nota matrisi 4 sütunlu olduğundan çarpacağımız matrisin 4 satırı olmalıdır. Bu nedenle, sütun matrisi ile çarpmamız gerekir:
alternatif: ve
7) Füvest - 2012
matrisi düşünün , Ne üzerine gerçek bir sayıdır. A'nın ters A'yı kabul ettiğini bilmek-1 ilk sütun kimin
, A'nın ana köşegeninin elemanlarının toplamı-1 aynı
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Bir matrisi tersiyle çarpmak, birim matrise eşittir, bu nedenle durumu aşağıdaki işlemle temsil edebiliriz:
Birinci matrisin ikinci satırının ikinci matrisin ilk sütunuyla çarpımını çözerek aşağıdaki denklemi elde ederiz:
(1'e). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2.2 - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2.2 - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
bir = 2
Matristeki a değerini yerine koyarsak:
Artık matrisi bildiğimize göre, determinantını hesaplayalım:
Böylece, ana köşegenin toplamı 5'e eşit olacaktır.
Alternatif: a) 5
Daha fazla bilgi edinmek için ayrıca bakınız:
- matrisler
- belirleyiciler
- Sarrus'un Kuralı
- Laplace Teoremi
- Transpoze Matris
