1. ve 2. Derece Eşitsizliği: nasıl çözülür ve alıştırmalar

Eşitsizlik, en az bir bilinmeyen (bilinmeyen) değeri olan ve bir eşitsizliği temsil eden matematiksel bir cümledir.

Eşitsizliklerde şu sembolleri kullanırız:

• > daha büyük
• ≥ büyük veya eşit
• ≤ küçük veya eşit

Örnekler

a) 3x - 5 > 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Birinci Derece Eşitsizlik

Bilinmeyenlerin en büyük üssü 1'e eşit olduğunda bir eşitsizlik 1. derecedendir. Aşağıdaki formları alabilirler:

• balta + b >0
• balta + b
• balta + b ≥ 0
• balta + b ≤ 0

Olmak ve B gerçek sayılar ve ≠ 0

Birinci dereceden eşitsizliğin çözümü.

Böyle bir eşitsizliği çözmek için, bunu denklemlerde yaptığımız gibi yapabiliriz.

Ancak, bilinmeyen negatif olduğunda dikkatli olmalıyız.

Bu durumda (-1) ile çarpmalı ve eşitsizlik sembolünü tersine çevirmeliyiz.

Örnekler

a) 3x + 19 eşitsizliğini çözün

Eşitsizliği çözmek için 19 ve 3'ü eşitsizliğin diğer tarafına geçirerek x'i izole etmeliyiz.

Taraf değiştirirken operasyonu değiştirmemiz gerektiğini hatırlamak. Böylece toplayan 19 azalan, çoğalan 3 bölmeyi geçecek.

3xxx

b) 15 - 7x ≥ 2x - 30 eşitsizliği nasıl çözülür?

Eşitsizliğin her iki tarafında cebirsel terimler (x) olduğunda, onları aynı tarafta birleştirmeliyiz.
Bunu yaparak, taraf değiştiren sayıların işareti değişmiş olur.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45

Şimdi tüm eşitsizliği (-1) ile çarpalım. Bunu yapmak için tüm terimlerin işaretini değiştiririz:

9x ≤ 45 (≥ sembolünü ≤'ye çevirdiğimizi unutmayın)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Bu nedenle, bu eşitsizliğin çözümü x ≤ 5.

Eşitsizlik grafiğini kullanarak çözünürlük

Bir eşitsizliği çözmenin başka bir yolu, onu Kartezyen düzlemde grafiğini çizmektir.

Grafikte, hangi değerleri belirleyerek eşitsizliğin işaretini inceliyoruz? x eşitsizliği gerçek bir cümleye dönüştürün.

Bu yöntemi kullanarak bir eşitsizliği çözmek için aşağıdaki adımları izlemeliyiz:

1.) Eşitsizliğin tüm terimlerini aynı tarafa koyun.
2º) Eşitsizliğin işaretini eşitlik işaretiyle değiştirin.
3) Denklemi çözün, yani kökünü bulun.
4) Denklemin işaretini inceleyin, değerlerini belirleyin x eşitsizliğin çözümünü temsil eder.

Misal

3x + 19 eşitsizliğini çözün

İlk önce eşitsizliği tüm terimleriyle birlikte eşitsizliğin bir tarafına yazalım:

3x + 19 - 40 3x - 21

Bu ifade eşitsizliğin çözümünün eşitsizliği negatif yapan x değerleri olduğunu belirtir (

3x - 21 = 0 denkleminin kökünü bulun

x = 21/3
x = 7 (denklemin kökü)

Kartezyen düzlemde, değerleri değiştirirken bulunan nokta çiftlerini temsil edin. x denklemde. Bu tür bir denklemin grafiği bir Düz.

değerler olduğunu tespit ettik.

İkinci Derece Eşitsizlik

Bilinmeyenlerin en büyük üssü 2'ye eşit olduğunda bir eşitsizlik 2. derecedendir. Aşağıdaki formları alabilirler:

• balta² + bx + c > 0
• balta² + bx + c
• balta² + bx + c ≥ 0
• balta² + bx + c ≤ 0

Olmak , B ve ç gerçek sayılar ve ≠ 0

Bu tür bir eşitsizliği, tıpkı 1. derece eşitsizlik için yaptığımız gibi, işareti incelemek için 2. derece denklemi temsil eden grafiği kullanarak çözebiliriz.

Bu durumda grafiğin bir benzetme.

Misal

x eşitsizliğini çöz² - 4x - 4

İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için, ifadesi işaretin sol tarafında olan değerleri bulmak gerekir.

İlk olarak, katsayıları tanımlayın:

bir = 1
b = - 1
c = - 6

kullanıyoruz bhaskara formülü (Δ = b² - 4ac) ve katsayıların değerlerini değiştiriyoruz:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Bhaskara'nın formülüyle devam ederek, katsayılarımızın değerlerini tekrar değiştirdik:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

x₁ = (1 + 5)/ 2
x₁ = 6 / 2
x₁ = 3

x₂ = (1 - 5) / 2
x₁ = - 4 / 2
x₁ = - 2

Denklemin kökleri -2 ve 3'tür. olarak 2. derece denklemin pozitif olması durumunda grafiği içbükeylik yukarı bakacak şekilde olacaktır.

Grafikten eşitsizliği sağlayan değerlerin şu şekilde olduğunu görüyoruz: - 2

Aşağıdaki gösterimi kullanarak çözümü gösterebiliriz:

Siz de okuyun:

• Birinci Derece Denklem
• İkinci dereceden denklem
• Denklem Sistemleri

Egzersizler

1. (FUVEST 2008) Tıbbi tavsiyeye göre, bir kişi kısa bir süre için günlük en az 7 miligram A vitamini ve 60 mikrogram D vitamini, yalnızca özel bir yoğurt ve tahıl karışımı ile beslenir, paketler.

Her litre yoğurt, 1 miligram A vitamini ve 20 mikrogram D vitamini sağlar. Her tahıl paketi 3 miligram A vitamini ve 15 mikrogram D vitamini sağlar.

Günlük x litre yoğurt ve y paket tahıl tüketen kişi, aşağıdaki durumlarda diyete uyduğundan emin olacaktır:

a) x + 3y ≥ 7 ve 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 ve 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 ve 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 ve 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 ve 3x + 20y ≥ 60

Yanıtı Gör

Alternatif: x + 3y ≥ 7 ve 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Bir şehre iki telefon şirketi hizmet vermektedir. X Şirketi, aylık 35,00 R$ artı kullanılan dakika başına 0,50 R$ tutarında bir abonelik ücreti alır. Y Şirketi, aylık 26,00 R$'lık bir abonelik ve kullanılan dakika başına 0,50 R$'lık bir abonelik ücreti alır. Kaç dakikalık kullanımdan sonra X şirketinin planı müşterilere Y şirketinin planından daha faydalı olacak?

Yanıtı Gör

26 + 0,65 m > 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m > 35 - 26
0.15 m > 9
m > 9/0.15
m > 60

60 dakikadan itibaren şirket X planı daha avantajlıdır.