Tüm rasyonel sayıları gerçek sayılar olarak biliyoruz ve mantıksız. inceleyerek sayısal kümeler, insanlığın ihtiyaçlarını ve tarihini takip ettiklerini anlamak önemlidir, sayısal kümeler şunlardır:
- doğal sayılar kümesi
- tam sayı seti
- rasyonel sayılar kümesi
- irrasyonel sayılar kümesi
- gerçek sayılar kümesi
Sen gerçek sayıların özellikleri vardır örneğin: birleştirici, değişmeli, toplama ve çarpma için nötr öğenin varlığı, çarpmada ters bir öğenin varlığı ve dağılma. gerçek sayılar gerçek çizgide temsil edilebilir - düzenli bir şekilde nasıl temsil edileceği.
Siz de okuyun: Asal sayılar nelerdir?
Gerçek sayılar nelerdir?
oluşturduğu kümeyi reel sayılar olarak biliyoruz. rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi. Onlarla çalışmak oldukça yaygındır, ancak gerçek sayılar kümesi tarihte ilk ortaya çıkan değildi.
doğal sayılar
Ö ilk sayısal küme doğal sayılardan oluşmuştur. İnsanın temel ihtiyacı olan sayma ve günlük hayattaki nesneleri sayma ihtiyacından yaratılmışlardır. Sen doğal sayılar onlar:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
tam sayılar
Toplumun evrimi ile birlikte insanın özlemleri de değişiyordu ve Negatif sayılarla çalışmak gerekiyor. Doğal sayılar kümesinde mantıklı gelmeyen 4-6 gibi işlemler, bu yeni kümenin ortaya çıkmasıyla birlikte yapılmaya başlandı. set tüm sayılar doğal sayılar kümesine negatif sayıların eklenmesiyle geldi, yani doğal sayılardan oluşur ve bunların tersi.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
rasyonel sayılar
Öyle olsa bile, negatif sayıların eklenmesiyle, tam sayılar kümesinin yeterli olmadığı ortaya çıktı, çünkü Antik Mısır, tamsayı olmayan sayıların kullanılması oldukça yaygındır. Yeni bir kümeyi resmileştirme ihtiyacı o zaman fark edildi: herkesin oluşturduğu küme. kesir ile gösterilebilen sayılar rasyonel sayılar olarak bilinir.
Rasyonel sayılarda tam sayılar kümesinden farklı olarak selefleri ve halefleri ile bir terimler listesi yazmak mümkün değildir., çünkü rasyonel sayılar verildiğinde, her zaman başka bir tane olacaktır. rasyonel sayı onların arasında. Örneğin 1 ile 2 arasında 1.5 vardır; 1 ile 1,5 arasında 1,25; ve benzeri. Bu nedenle, rasyonel sayıları temsil etmek için aşağıdaki gösterimi kullanırız:
Bu gösterimde rasyonel sayı, kesir ile temsil edilebilen sayıdır. altında B, Ne üzerine bir tamsayıdır ve B sıfır olmayan bir tam sayıdır.
Rasyonel sayılar kümesinde, tüm tamsayılar dahil edildi kesin ondalık sayılara ve periyodik ondalık, olumlu ve olumsuz.
Ayrıca bakınız: Sıra sayıları nedir?
irrasyonel sayılar
Rasyonel sayıların tanımının aksine, kesir olarak gösterilemeyen sayılar vardır. Bazı matematikçiler, bu temsili yapmak için zaman içinde onları incelediler, ancak bu mümkün değil. Bu sayılar, periyodik olmayan ondalıklar ve kökler tam değil, sonuç olarak periyodik olmayan ondalıklar oluşturur. Örneğin π sayısı, günlük hayatta oldukça yaygın olan irrasyonel bir sayıdır. Rasyonel sayılar gibi irrasyonel sayılar kümesi listelenebilir değildir ve harfle gösterilir ben.
Örnekler:
- √2 → kesin olmayan kökler irrasyonel sayılardır;
- -√5 → negatif irrasyonel sayılar olsa bile kökler kesin değildir;
- 3.123094921… → periyodik olmayan ondalık sayılar irrasyonel sayılardır.
gerçek sayılar
Tüm doğal ve tam sayılar rasyonel kabul edildiğinden, şimdiye kadar sayılar Rasyonel sayılar kümesi ve sayılar kümesi olmak üzere iki büyük kümeye ayrılır. mantıksız. Gerçek sayılar kümesi, şundan başka bir şey değildir: rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi.
R = {Q U I}
Şimdiye kadar bildiğimiz tüm sayılara gerçek sayılar denir.
Gerçek sayılarla işlemler
Gerçek sayıları içeren işlemler, önceki tüm sayı kümeleri için bilinen işlemlerdir. Onlar:
- ilave
- çıkarma
- bölünme
- çarpma işlemi
- güçlendirme
- radyasyon
Bu işlemlerden herhangi birini gerçek sayılar arasında gerçekleştirmek için önceki sayılarla yapılan işlemlerden bir farkı yoktur.
Ayrıca, bu tür işlemler göz önüne alındığında, şunu vurgulamak önemlidir: özellikler var gerçek sayılar kümesinde.
Gerçek sayıların özellikleri
Gerçek sayıların özelliklerinin olduğunu anlamak önemlidir. tanımının sonuçları ve işlemleri gerçekleştirmek için kullanışlıdır. Onlar:
- toplama ve çarpma için nötr bir elemanın varlığı
- değişmeli özellik
- birleştirici özellik
- dağılma özelliği
- tersin varlığı
nötr eleman
ol gerçek bir sayı.
Eklenen bir sayı var , kendi içinde sonuçlanır :
+ 0 =
0, toplamın nötr öğesidir..
Bir sayı var ki, çarparken , kendi içinde sonuçlanır .
· 1 =
1, çarpmanın nötr öğesidir.
değişmeli Özellik
ol ve B iki gerçek sayı
Toplama veya çarpma işleminde sayıların sırası sonucu değiştirmeyecektir.
+ B = B +
a · b = b · bir
birleştirici özellik
ol , B ve ç gerçek sayılar.
Hem toplama hem de çarpma işleminde, iki işlemli sayı herhangi bir sıraya kayıtsızdır.
( + B) + ç = + (B + ç)
(bir · b) · ç = · (M.Ö)
dağılma özelliği
ol , B ve ç gerçek sayılar.
Dağılma özelliği gösterir ki, toplamın ürünü, ürünlerin toplamına eşittir.
ç (bir + b) = yaklaşık + cb
tersin varlığı
ol sıfır olmayan bir gerçek sayı.
her gerçek sayı için sıfırdan farklı, ürünün gireceği bir sayı var ve bu sayı 1'e eşittir.
düz temsil
Gerçek sayılar kümesini bir satırda temsil edebiliriz, çünkü bir onun için iyi tanımlanmış düzen ilkesi. Çizgi üzerindeki bu gösterim gerçek çizgi veya gerçek çizgi olarak bilinir. yenidenbu sayısal ve Kartezyen düzlemin çalışmasında bile oldukça yaygındır.
Ayrıca erişim: kesir nedir?
çözülmüş alıştırmalar
Soru 1 - Lütfen aşağıdaki ifadeleri değerlendirin:
I – Periyodik ondalık sayılar gerçek sayılardır.
II – Her gerçek sayı rasyonel veya irrasyoneldir.
III – Her tam sayı doğal değildir.
İfadeleri analiz ederek şunları söyleyebiliriz:
A) Sadece ben yanlıştır.
B) Yalnız II yanlıştır.
C) Sadece III yanlıştır.
D) Hepsi doğrudur.
E) Hepsi yalandır.
çözüm
Alternatif D.
I – Doğru, ondalıklar irrasyonel sayılar olduğundan, sonuç olarak gerçek sayılardır.
II – Doğru, çünkü reel sayılar kümesi gerçel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
III – Doğru, çünkü -2 ve -5 gibi negatif sayılar tam sayıdır, ancak doğal değildir.
Soru 2 - Aşağıdaki özelliklere göz atın:
I - değişmeli özellik
II - dağılma özelliği
III - birleştirici özellik
Aşağıdaki işlemleri analiz edin ve bunları ilgili özelliklerinin sayısıyla işaretleyin:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Alternatiflerden hangisi özelliklerin doğru sırasına karşılık gelir:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
çözüm
Alternatif A.
1 - (II) Bu durumda, 3'ün işlemin faktörlerinin her biri ile çarpıldığına dikkat edildiğinden, dağılma özelliği gerçekleşti.
2 - (I) Bu durumda, çarpanların sırası çarpımı değiştirmez, çarpmanın değişebilirliği.
3 - (III) Bu öğelerin eklenme sırası toplamı değiştirmediğinden, çağrışım özelliğine sahibiz.
4 - (I) Parsellerin sırası toplamı değiştirmediğinden burada yine değişebilirlik var.
