Karmaşık Sayı Alıştırmaları: Çözülmüş Soruların Listesi ve Geri Bildirim

Sen Karışık sayılar kümesinde çözümü olmayan matematiksel problemleri çözmeyi mümkün kılar. gerçek sayılar.

olarak yazılan karmaşık bir sayı olarak $\dpi{120} z = bir+ iki$ , diyoruz ki $\dpi{120} için$ gerçek kısımdır, $\dpi{120} b$ hayali kısımdır ve $\dpi{120} ben =\sqrt{-1}$ hayali birimdir.

Gerçekleştirmek karmaşık sayılarla işlemler, hesaplamaları kolaylaştıran bazı ifadeler var. Düşünmek $\dpi{120} z_1 = bir+ iki$ ve $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Karmaşık sayılar arasında toplama ifadesi:

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) ben$

Karmaşık sayılar arasında çıkarma ifadesi:

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d) ben$

Karmaşık sayılar arasında çarpma ifadesi:

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - db)+(reklam +cb) i$

Karmaşık sayılar arasındaki bölme ifadesi:

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }ben$

Aşağıda bir listesi karmaşık sayılarla ilgili alıştırmalarla çözülen sorular. Bu sayıları içeren kavramların her birini kullanmayı öğrenin!

dizin

Karmaşık sayılarla ilgili alıştırmaların listesi
1. sorunun çözümü
2. sorunun çözümü
3. sorunun çözümü
4. sorunun çözümü
5. sorunun çözümü
6. sorunun çözümü
7. sorunun çözümü
8. sorunun çözümü

Karmaşık sayılarla ilgili alıştırmaların listesi

Soru 1. Karmaşık sayılar göz önüne alındığında $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ ve $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ değerini belirlemek $\dpi{120} A$ , Ne zaman $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Soru 2. değerlerini bulun $\dpi{120} x$ ve $\dpi{120} yıl$ öyle ki $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Soru 3. Karmaşık sayılar göz önüne alındığında $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ ve $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , değerini belirle $\dpi{120} A\cdot B$ , Ne zaman $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ ve $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

instagram story viewer

Soru 4. değerini hesapla $\dpi{120} s$ ve $\dpi{120} q$ ne için $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Ne zaman $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ ve $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Soru 5. değerini belirle $\dpi{120} için$ ne için $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ saf bir hayali sayı olsun.

Soru 6. Aşağıdaki hayali birim güçlerini hesaplayın $\dpi{120} ben$ :

) $\dpi{120} ben^{16}$
B) $\dpi{120} ben^{200}$
ç) $\dpi{120} ben^{829}$
d) $\dpi{120} ben^{11475}$

7. soru Denklemin çözümünü bulun $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ karmaşık sayılar kümesinde.

Soru 8. Denklemin çözümünü belirleyin $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ karmaşık sayılar kümesinde.

1. sorunun çözümü

Sahibiz $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ ve $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ ve $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ ve değerini belirlemek istiyoruz $\dpi{120} A$ , Ne zaman $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

İlk önce hesaplayalım $\dpi{120} 4z_3$ ve $\dpi{120} 3z_1$ , ayrı ayrı:

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

şimdi hesaplayalım $\dpi{120} A$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Rightarrow A= -8 + 2i$

2. sorunun çözümü

x ve y'yi bulmak istiyoruz, böylece $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

İki karmaşık sayı arasındaki toplamın ifadesi ile şunları yapmalıyız:

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Rightarrow (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Yani sahip olmalıyız $\dpi{120} (2 + y) = 3$ ve $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . x ve y'yi bulmak için bu iki denklemi çözelim.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\Rightarrow y = 3-2\Rightarrow y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rightarrow x- 5 = -1 \Rightarrow x = -1 + 5 \Rightarrow x = 4$

3. sorunun çözümü

Sahibiz $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ ve $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ ve değerini belirlemek istiyoruz $\dpi{120} A\cdot B$ , Ne zaman $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ ve $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

İlk önce hesaplıyoruz $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rightarrow A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

İki karmaşık sayı arasındaki çarpmanın ifadesi ile şunları yapmalıyız:

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =29$

şimdi hesaplayalım $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rightarrow B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = 10$

Bu nedenle, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

4. sorunun çözümü

değerini hesaplamak istiyoruz. $\dpi{120} s$ ve $\dpi{120} q$ ne için $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Ne zaman $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ ve $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

bulmak demektir $\dpi{120} s$ ve $\dpi{120} q$ Böylece:

Bazı ücretsiz kurslara göz atın

Ücretsiz Online Kapsayıcı Eğitim Kursu
Ücretsiz Online Oyuncak Kütüphanesi ve Öğrenme Kursu
Erken Çocukluk Eğitiminde Ücretsiz Çevrimiçi Matematik Oyunları Kursu
Ücretsiz Online Pedagojik Kültür Atölyeleri Kursu

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

İki karmaşık sayı arasındaki bölmenin ifadesi ile şunları yapmalıyız:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

İki koşulu birleştirerek, sahip olmalıyız:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

yani:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Sadece p'ye bağlı olan ikinci denklemden başlayarak bu denklemlerin her birini çözelim.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Rightarrow p = -16$

Şimdi, q'yu diğer denklemle buluruz:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow q = 7$

5. sorunun çözümü

değerini bulmak istiyoruz. $\dpi{120} için$ ne için $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ saf bir hayali sayı olsun.

Saf hayali sayı, gerçek kısmı sıfıra eşit olan bir sayıdır.

İki karmaşık sayı arasındaki bölümün ifadesi göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Bu sayının tamamen hayali olması için aşağıdakilere sahip olmamız gerekir:

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow a = -2$

6. sorunun çözümü

Güçleri ve karmaşık sayıları tanımlayarak şunları yapmalıyız:

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} ben^1 = ben$
$\dpi{120} ben ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} ben^5 = ben$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Her dört ardışık güçte bir kendini tekrar eden bir model gözlemleyin: 1, i, -1 ve -i.

Bu nedenle, i'nin herhangi bir kuvvetinde sonucu bulmak için üssü 4'e bölmeniz yeterlidir. Bölmenin geri kalanı 0, 1, 2 veya 3 olacaktır ve bu değer kullanmamız gereken üs olacaktır.

) $\dpi{120} ben^{16}$

16: 4 = 4 ve gerisi 0'dır.

Sonra, $\dpi{120} ben^{16} = ben^0 = 1$ .